Экспериментальное оборудование, приборы и принадлежности. Лабораторная установка (рис.1) представляет собой трубу из прозрачного пластика 1, смонтированную на специальной подставке 2

Лабораторная установка (рис.1) представляет собой трубу из прозрачного пластика 1, смонтированную на специальной подставке 2. К верхнему концу трубы пристыкован динамик 3, излучающий звуковую волну, распространяющуюся внутри трубы.

Рис. 1

К приборам и принадлежностям относятся датчик звука 4 с двумя микрофонами внутри трубы и компьютер с необходимым программным обеспечением. Один из микрофонов закреплен неподвижно, а другой (5) перемещается вдоль трубы.

Теоретическая часть

Звуковая волна - это продольная волна, представляющая собой последовательные области сжатия и разряжения воздуха, распространяющиеся со скоростью, зависящей от свойств среды. Иными словами. в звуковой волне происходят колебания давления и плотности воздуха и эти колебания передаются соседним участкам воздушной среды. Человеческое ухо воспринимает в виде звука колебания, частоты которых лежат в пределах от 20 до 20000 Гц. Поэтому именно эти цифры приняты в качестве нижней и верхней границ диапазона звуковых волн.

Порогу слышимости уха человека соответствует давление 2-10^-5Па, а опасному уровню громкости - 2 Па (100 дБ). Таким образом, колебания давления в звуковой волне соответствуют малым колебаниям, поскольку изменения давления не превосходят 10^-4 от атмосферного давления.

Источниками звука являются колеблющиеся в приведенном выше диапазоне частот тела любой природы. Наиболее часто для создания звука используются динамики, в которых колебаниями диффузора управляют с помощью электрического сигнала.

Звуковые волны распространяются в упругой среде с конечной скоростью (обозначим ее v). Поэтому возмущение, созданное источником волны в момент времени t, достигнет точки среды, удаленной на расстояние l через время Δt, равное l/v. Действительно, пусть в момент времени t динамик включился и начал создавать около диффузора область повышенного давления. Благодаря упругим свойствам газа эта область будет распространяться, повышая давление в соседних точках пространства. Сам динамик при этом в какой-то момент закончит сжатие газа, и наоборот, начнет создавать область разрежения. Эта область разряжения уйдет от динамика вслед за областью сжатия. В точку наблюдения, удаленную на расстояние l, придет сначала область повышенного давления, а затем -пониженного. Таким образом, в каждый момент времени стадии колебательного процесса (начало сжатия, окончание сжатия, начало разряжения, окончание разряжения и т.д.) в различных точках пространства будут различными. В тоже время, в каждой конкретной точке пространства (например, в точке, удаленной на расстояние / от динамика) будут последовательно наблюдаться все стадии колебательного процесса, которые возникают в области расположения диффузора динамика, но при этом «эти стадии» приходят в точку наблюдения через время Δt = l/v после создания их источником звука.

Распространение звуковой волны в трубе, использующейся в лабораторной установке, достаточно хорошо описывается уравнением плоской синусоидальной волны в непоглощающей среде:

s(x,t)=A sin[ω (t-x/v)+φ₀], (1)

где А - амплитуда колебаний (амплитуда волны), ω = 2π/Т- циклическая или круговая частота волны (Т — период колебаний), х— координата в направлении распространения волны (в данном случае - вдоль трубы), v -скорость распространения волны, φ₀ - начальная фаза колебаний (фаза колебаний в точке х=0 в момент времени, принятый за начальный). Параметр s, характеризующий волну, можно принять равным отношению разности между давлением воздуха в данной точке и атмосферным давлением в невозмущенной среде к давлению невозмущенной среды (s=(p-po)/po).

Соотношение (1) означает, что регистрируя параметры среды в определенной точке (х - х ₀)наблюдатель будет видеть колебания давления, происходящие с течением времени по синусоидальному закону:

(2)

где φ -начальная фаза колебаний в данной точке, отличающаяся от начальной фазы колебаний в точке х=0 на величину –ωx₁/v.

С другой стороны, если зафиксировать в соотношении (1) время (t=t₁), то получится пространственное распределение давления в области распространения волны в момент времени t₁.

(3)

Из (3) следует, что мгновенное распределение давления в области распространения звуковой волны имеет синусоидальный характер. Период λ этой «пространственной картинки» определяется из соотношения

составляет:

λ=vT (4)

и называется длиной волны.

К сожалению, сфотографировать звуковую волну так, как например, волну сжатия, распространяющуюся по длинной пружине, невозможно. Поэтому еще раз вернемся к соотношению (1) и рассмотрим, как будут соотноситься сигналы двух микрофонов, поставленных на расстоянии одной длины волны друг от друга. Подставляя х+λ вместо х в (1) и учитывая, что ω=2π/Т, получаем:

(5)

Таким образом, если регистрировать звуковую волну двумя микрофонами, один из которых неподвижен, а второй смещается вдоль пути распространения волны, то при расстоянии между микрофонами, равному целому числу длин волн, фазы регистрируемых ими колебаний окажутся совпадающими. Это рассмотрение лежит в основе одного из методов определения скорости звуковой волны, применяемого в рамках данной работы.

Если зафиксировать несколько положений подвижного микрофона, в которых фаза колебаний совпадает с фазой колебаний на неподвижном микрофоне. можно рассчитать среднее значение длины волны звука. Скорость звука после этого может быть рассчитана на основе (4) по формуле:

ν = λ/Т = λ f (6)

где f -частота звуковых колебаний.

Другой применяемый в данной работе метод определения скорости звука базируется на непосредственном измерении промежутков времени, через которые волновой фронт достигает определенных сечений трубы. Скорость волны определяется по тангенсу угла наклона графика зависимости расстояния, на которое распространились колебания, от времени, за которое это распространение произошло. Поскольку начальный момент времени выбирается произвольно, точки графика следует аппроксимировать зависимостью Y=aX+b. Построение прямой линии с использованием метода наименьших квадратов позволяет исключить ошибки измерений, связанные с постановкой каждой отдельной точки.

В заключение приведем вывод формулы скорости звуковой волны v. Представим, что газ находится в полубесконечном цилиндре площадью S, один из торцов которого закрыт поршнем. Поршень совершает колебания, которые передаются соседним с ним частицам газа, а от них - более далеким частицам. Пусть в некоторый момент времени поршень осуществляет сжатие газа и имеет скорость v_n. За малый промежуток времени dt поршень сдвинется на расстояние v_ndt, благодаря чему объем газа уменьшится на величину dV_n—Sv_ndt. Область сжатия за это время распространится в газ на расстояние vdt и охватит объем среды dV=Svdt. Относительная деформация газа ε (без учета отрицательного знака, соответствующего сжатию) при этом составит:

Согласно закону Гука, добавочное давление Δр, производимое на газ движущимся поршнем, прямо пропорционально относительному изменению объема (относительной деформации):

При движении поршня на соприкасающийся с ним слой газа действует сила F=SΔp. под действием которой за время dt возмущенный объем газа приобретают импульс dmv_n, где dm=ρSvdt (ρ - плотность газа). Здесь предполагается, что скорость распространения возмущения по среде выше скорости поршня, и что скорость газа в возмущенной области среды равна

скорости поршня. На основании второго закона Ньютона, записанного с использованием понятия импульса (), получаем:

или:

После сокращений и преобразования получаем:

(7)

При выводе формулы (7) предполагалось, что плотность газа постоянна. В газах это условие соблюдается, если связанные с волной возмущения давления много меньше равновесного давления. Модуль объемной упругости газа К (коэффициент пропорциональности между изменением давления и относительным изменением объема) зависит от характера процесса, в котором участвует газ. На частотах, характерных для звуковых волн, стадии сжатия и разряжения происходят достаточно быстро, поэтому процесс изменения состояния газа можно считать адиабатическим (pV^γ=const). Дифференцируя данное соотношение, получаем:

 

Таким образом, модуль объемной упругости при адиабатическом процессе в газе равен К=γр, и скорость звука составляет:

(8)

При написании последнего равенства использовано то, что для идеального газа:

где R - универсальная газовая постоянная, Т - температура газа и - μ - его молекулярная масса.

Отметим, что хотя при выводе формулы описывалось приобретение некоторой массой газа скорости вдоль направления распространения волны, в действительности распространение звуковой волны не вызывает движения газа. Движение источника звука довольно быстро меняет направление скорости, вызывая обратное движения газа в области «поршня», и в целом не вызывает смещения частиц среды.