Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа т элементарных событий, благоприятствующих событию А, к общему числу п равновозможных элементарных событий.
Пример 4. В урне 3 белых и 9 чёрных шаров. Из урны наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется чёрным (событие А)?
Имеем п = 12, т = 9, поэтому Р(А) = ¾.
Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий, т. е. Р(А + В) = Р(А) + Р(В)
Теорема 2. Если события А и В совместны, то вероятность их суммы выражается формулой: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).
Пусть события А и В таковы, что вероятность события В не изменится в зависимости от наступления (или ненаступления) события А. В таких случаях говорят, что события А и В независимы.
Теорема 3. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: Р(АВ) = Р(А) × Р(В).
Пример 5. В ящике 40 деталей: 20 – первого сорта, 15 – второго сора, 5 – третьего сорта. Найти вероятность того, что наугад извлечённая деталь окажется не третьего сорта (событие А).
Событие А наступит, если извлечённая наугад деталь окажется либо первого сорта (событие В), либо второго сорта (событие С). Событие А есть сумма двух несовместных событий В и С. Поэтому, применяя теорему 1, получим:
Р(А) = Р(В+С) = Р(В) + Р(С) = 
.
Пример 6. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей хотя бы один раз выпадает 6 очков.
Обозначим событие А – « выпадение шести очков при бросании первой игральной кости »; В – « выпадение шести очков при бросании второй игральной кости ». Так как события А и В совместны, то
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)
Р(А) = 1/6, Р(В) = 1/6 и Р(АВ) = 1/36, поэтому
Р(А+В) = 
.
Упражнения для тренировки
1) Найти среди событий достоверные и невозможные:
- появление 10 очков при бросании игральной кости;
- появление 10 очков при бросании трёх игральных костей;
- появление 20 очков при бросании трёх игральных костей;
- наугад выбранное двузначное число не больше 100;
- появление двух гербов при бросании двух монет.
2) Являются ли несовместными события А и В:
- испытание –бросание монеты; событие А: появление герба, событие В: появление цифры;
- испытание –бросание игральной кости; А: появление трёх очков, В: появление нечётного числа очков;
- испытание – два выстрела по мишени; А: промах при первом выстреле, В: промах при втором выстреле.
3) Найти сумму событий:
- испытание – два выстрела по мишени; А: попадание с первого выстрела, В: попадание со второго выстрела;
- испытание – бросание игральной кости; А: появление одного очка, В: появление двух очков, С: появление трёх очков;
- испытание – приобретение лотерейных билетов; А: выигрыш 10 рублей, В: выигрыш 20 рублей, С: выигрыш 25 рублей.
4) Найти произведение событий:
- испытание – два выстрела по мишени; А: попадание с первого выстрела, В: попадание со второго выстрела;
- испытание – бросание игральной кости; А: непоявление трёх очков, В: непоявление трёх очков, С: непоявление нечётного числа очков.
5) В урне 100 шаров, помеченных номерами. Из урны наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара 5?
6) Из урны, в которой находятся 7 красных, 8 жёлтых и 5 зелёных шаров, наугад вынимают один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется: а) красным, б) жёлтым, в) чёрным, г) зелёным.
7) Среди 50 деталей 5 нестандартных. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется: 1) стандартной, 2) нестандартной.
8) Брошена игральная кость. Найти вероятность следующих событий: 1) выпало три очка, 2) выпало нечётное число очков.
9) Монета брошена два раза. Какова вероятность того, что хотя бы один раз выпадает герб?
10) Вычислить:
1) 
2) 
3) 
4) Р6 (Р7 – Р3)
5) 
6) 
11) Найти п, если:
12) Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что в каждом числе нет одинаковых цифр?
13) Группа учащихся изучает 8 различных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий в субботу, если в этот день недели должно быть три различных урока?
14) Сколькими способами восемь различных книг можно расставить на одной полке так, чтобы: 1) две определённые книги оказались рядом; 2) две определённые книги не оказались рядом.
15) Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, не повторяя цифр в числе?
16) В урне 10 белых и 5 чёрных шаров. Сколькими способами из урны можно вынимать наугад 3 шара, чтобы:
1) все три шара оказались белыми; 15
2) все три шара оказались чёрными;
3) два шара оказались белыми, а один чёрным;
4) один шар оказался белым, а два чёрными?
17) В розыгрыше личного первенства техникума по шахматам было сыграно 120 игр. Сколько было участников, если каждые два участника встречались между собой один раз?
18) В группе 20 юношей и 10 девушек. Сколькими способами можно избрать трёх юношей и двух девушек для участия в слёте студентов?
19) В урне 9 белых и 6 чёрных шаров. Из урны вынимаю два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?
20) В партии из 8 деталей имеется 6 стандартных. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад деталей ровно три стандартных.
21) Восемь различных книг расставляют наугад на одной полке. Найти вероятность того, что две определённые книги окажутся поставленными рядом.
22) В книжном магазине на полке 10 различных книг, причём 5 книг стоят по 40 рублей каждая, 3 книги – по 10 рублей и 2 книги – по 30 рублей. Найти вероятность того, что взятые наугад две книги стоят 50 рублей.
23) В урне 8 белых и 6 чёрных шаров. Из урны вынимаю два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся чёрными?
24) В урне 8 белых и 6 чёрных шаров. Из урны вынимаю два шара. Какова вероятность того, что они разного цвета?
25) 32 буквы русского алфавита написаны на карточках. Пять карточек вынимают наугад одну за другой и укладывают на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что получится слово « конец ».
