Основные теоретические сведения. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и ее производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

F(x,y,y ’)=0, F(x,y,y ”)=0, F(x,y,y ”, …, y^{( n)})=0.

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Общим решением (или общим интегралом) дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Так, общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общему решению дифференциального уравнения соответствует совокупность (семейство) всех интегральных кривых.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

.

Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные:

А затем проинтегрировать обе части полученного равенства:

.

1.Найти общее решение уравнения x(1+ )dx=ydy.

* Разделив переменные, имеем

xdx= .

Интегрируем обе части полученного уравнения:

= ; = ln(1+ )+ lnC.

Так как произвольная постоянная С может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо С мы написали (1/2) In С. Потенцируя последнее равенство, получим

=ln[ C (1+ )].

Это и есть общее решение данного уравнения. *

 

Упражнения для тренировки:

1)Найдите общие решения уравнения

dx= 3 dy;

dy= dx;

(1+ ) dx= (x- 1) dy.

2)Найдите частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

a) ydy=xdx; y=4 при x =-2

b) xdy=ydx; y=6 при x =2

 

3. Для того, чтобы выполнить задание №5 домашней контрольной работы необходимо изучить теоретический материал раздела «Основы теории вероятности и математической статистики», рассмотреть решенные задачи и попытаться решить упражнения для тренировки.