Основные теоретические сведения. В окружающем нас мире можно наблюдать события, которые обязательно произойдут, если будет осуществлена определённая совокупность условий

В окружающем нас мире можно наблюдать события, которые обязательно произойдут, если будет осуществлена определённая совокупность условий. Такие события называют достоверными. Однако подобная однозначность не всегда имеет место. Часто приходится сталкиваться с событиями, которые при осуществлении определённых условий могут произойти, а могут и не произойти. Такие события называются случайными. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого. В противном случае события называются совместными.

Операции над событиями.

1. События называются равными (равносильными), если события А и В таковы, что А является следствием В, а В является следствием А. (Например. Брошена монета. Событие А - «появление герба», событие В - «не появление цифры».)

2. Суммой или объединением событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного события. (Например. Событие А - «появление одного очка при бросании игральной кости», событие В - «появление двух очков при бросании игральной кости». Суммой А+В является событие - «появление не более двух очков при бросании игральной кости».

3. Произведением или пересечением событий называется событие, состоящее в одновременном наступлении всех событий. (Например. Событие А - «студенту попался билет с чётным номером», событие В - «студенту попался билет с номером, кратным пяти». Произведением АВ является событие - «студенту попался экзаменационный билет с номером, кратным 10»)

4. Два случайных события называются противоположными, если одно из них происходит в том и только в том случае, когда не происходит другое. (Например, появление чётного числа очков при бросании игральной кости – событие, противоположное появлению нечётного числа очков.)

 

Элементы комбинаторики.

 

Группы, составленные из каких-либо элементов, называются соединениями. Различают три вида соединений: размещения, перестановки, сочетания.

Размещения. Размещениями из п элементов по т в каждом называются такие соединения., которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения. Число размещений из п элементов по т в каждом вычисляется по формуле:

Пример 1. В группе из 30 учащихся нужно выбрать старосту, профорга и физорга. Сколькими способами можно сделать выбор?

Искомое число способов равно числу размещений из 30 элементов по 3 элемента в каждом. Значит п = 30, т = 3. Получаем: .

Перестановки. Перестановками из п элементов называются такие соединения из всех п элементов, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов. Число перестановок из п элементов вычисляется по формуле:

Пример 2. Сколькими способами можно расставить на одной полке шесть различных книг?

Искомое число способов равно числу перестановок из 6 элементов. То есть Р₆ = 6! = 720.

 

Сочетания. Сочетаниями из п элементов по т в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Число сочетаний находится по формуле:

Пример 3. В бригаде из 25 человек нужно выделить четырёх для работы на определённом участке. Сколькими способами можно это сделать?

Так как порядок выбранных четырёх человек не имеет значения, то это можно сделать способами. По формуле находим: