Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ќсновные теоретические сведени€. ќпределение. ѕроизводной функции f(x) в точке х0 называетс€ предел отношени€ приращени€ функции к приращению аргумента




 

ќпределение. ѕроизводной функции f(x) в точке х0 называетс€ предел отношени€ приращени€ функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремитс€ к нулю. ќбозначаетс€ fТ(x).

ќпераци€ нахождени€ производной называетс€ дифференцированием функции.

√еометрический смысл производной: производна€ функции в точке хо равна угловому коэффициенту касательной, проведЄнной к графику данной функции в данной точке.

ћеханический смысл производной: мгновенна€ скорость пр€молинейного движени€ материальной точки в любой момент времени есть производна€ от пути по времени:

ѕравила дифференцировани€:

1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) .

“аблица производных


(xn)′ = nЈxn-1

(sin x)′ = cos x

(cos x)′ = Ц sinх

(ex)′ = ex

(ax)′ = ax Јln a


ѕример1. Ќайти производную:

5) 6)

–ешение.

1) .

2) ѕерепишем функцию в виде, удобном дл€ дифференцировани€: .

.

3) ѕерепишем функцию в виде, удобном дл€ дифференцировани€: .

.

4) ѕерепишем функцию в виде, удобном дл€ дифференцировани€: .

.

5)

1.

6) .

ѕример2. Ќайти производную сложной функции: 1)

2) 3) 4) .

–ешение. ѕроизводна€ сложной функции вычисл€етс€ по правилу дифференцировани€ 6.

1)

2) ѕерепишем функцию в виде, удобном дл€ дифференцировани€: .

3) .

4) ѕерепишем функцию в виде, удобном дл€ дифференцировани€: .

.

ќпределение. ‘ункци€ F(x) называетс€ первообразной дл€ функции f(x) на промежутке, если в любой точке этого промежутка еЄ производна€ равна f(x):

.

ќтыскание первообразной функции есть действие, обратное дифференцированию, - интегрирование.

ќпределение. —овокупность первообразных дл€ функции f(x) называетс€ неопределЄнным интегралом и обозначаетс€ символом . “аким образом:

, где f(x)dx Ц подынтегральное выражение, — Ц посто€нна€.

—войства неопределЄнного интеграла.

1) ЌеопределЄнный интеграл суммы функций равен алгебраической сумме неопределЄнных интегралов этих функций.

2) ѕосто€нный множитель подынтегрального выражени€ можно вынести за знак неопределЄнного интеграла.

3) ≈сли функци€ имеет вид f(kx+b), то неопределЄнный интеграл вычисл€етс€ по формуле: .

“аблица первообразных

B - const Bx + C
x n , n ≠ -1
Ln + C
e x e x + C
sin x - cos x + C
cos x sin x + C
tg x + C
- ctg x + C
ax , a>0

ќпределение. ѕриращение F(b) Ц F(a) любой из первообразных некоторой функции при изменении аргумента от х = а до х = b называетс€ определЄнным интегралом от а до b функции f(x) и обозначаетс€ . „исла а и b называютс€ пределами интегрировани€.

ѕри вычислении определЄнного интеграла используетс€ формула Ќьютона-Ћейбница: .

ѕример 3. Ќайти: .

–ешение. 1) ;

2) ;

3) .

ѕример 4. ¬ычислить: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

–ешение. 1) ;

2)

3)

4)

ќпределение. „исловым р€дом называетс€ сумма вида: , где числа , называемые членами р€да, образуют бесконечную последовательность.

 аждому р€ду можно сопоставить последовательность частичных сумм ≈сли при бесконечном возрастании номера n сумма р€да Sn стремитс€ к пределу S, то такой рад называетс€ сход€щимс€, а число S Ц суммой сход€щегос€ р€да.

≈сли частична€ сумма Sn при неограниченном возрастании п не имеет конечного предела, то такой р€д называетс€ расход€щимс€.

“ригонометрическим р€дом ‘урье дл€ функции f(x) в промежутке изменени€ аргумента -p £ х £ p называетс€ р€д вида

или короче: ,

где - коэффициенты р€да, называемые коэффициентами ‘урье.

–азложение функции в тригонометрический р€д имеет важное значение в прикладных науках. “акое разложение называют гармоническим анализом.

„тобы разложить периодическую функцию f(x) с периодом 2p в тригонометрический р€д, нужно найти коэффициенты этого р€да, которые вычисл€ютс€ по формулам:

,

, .

”пражнени€ дл€ тренировки

 

Ќайти следующие интегралы:


1.

2.

3.

4.

5.

6.

 

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.


¬ычислить определЄнные интегралы:


45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

71.

72.


 

–азложить в р€д ‘урье следующие периодические функции:

2.

73. в промежутке -p £ х < p.

74. в промежутке -p < х < p.

75. –азложить в р€д ‘урье периодическую функцию в промежутке -p < х < p.

 

3. ƒл€ того, чтобы выполнить задание є4 домашней контрольной работы необходимо изучить теоретический материал раздела Ђћатематический анализї, рассмотреть решенные задачи и попытатьс€ решить упражнени€ дл€ тренировки.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-11-20; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1170 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—тудент может не знать в двух случа€х: не знал, или забыл. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

1123 - | 754 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.056 с.