Алгебраїчний матеріал в курсі математики 3-го класу.

Програмою з математики передбачається,що учні початкової школи повинні отримати початкові уявлення про математичні вирази, числові рівності та нерівності, познайомитися з буквеною символікою, із змінною, навчитися розв’язувати нескладні рівняння та нерівності, набути вмінь розв’язувати деякі прості та складені задачі за допомогою рівнянь.

Мета вивчення алгебраїчного матеріалу полягає в більш глибокому розкритті арифметичних понять, в доведенні узагальнень учнів до високого рівня, а також у підготовці до подальшого засвоєння курсу алгебри.

Таким чином,вивчення елементів алгебри в початковому навчанні математиці тісно пов’язано з вивченням арифметичного матеріалу. Це виявляється, наприклад, у тому що рівняння і нерівності розв’язуються без застосування алгебраїчного апарату (теорем про рівносильність рівнянь), а використовуючи властивості арифметичних дій, на підставі взаємозв’язку між компонентами та результатами арифметичних дій.

Основними алгебраїчними поняттями є “рівність”, ”нерівність”, ”вираз”, ”рівняння”. Означень цих понять в курсі математики початкової школи не дається. Учні засвоюють їх на рівні уявлень в процесі виконання спеціальних вправ.

Зміст алгебраїчного матеріалу

Математичні вирази: числові.

Основними задачами при вивченні математичних виразів є:

- навчити читати та записувати математичні вирази;

- навчити знаходити значення математичних виразів;

- навчити виконувати тотожні перетворення;

- навчити порівнювати математичні вирази;

- навчити складати вираз за текстом будь-якої простої або складеної задачі.

Математичний вираз – це запис, який складається із чисел та букв, які з’єднані знаками арифметичних дій та дужками. Наприклад:

3*2+24:6 а + 5*12 в:(11-6)

Якщо запис складається лише тільки із чисел, які з’єднані знаками арифметичній дій та дужками – це числовий вираз.

В 3-му класі учні уперше зустрічаються з математичними виразами, які містять три арифметичні дії. Наприклад:

32 – 24 + 64: 8

8 * 9 – (42 – 7)

56: 8 + 64: 8

24 – 18: 3 + 7

8 * 2 – 6: 2,

між тим, як у другому класі вивчалися вирази, які містили не більше двох арифметичних дій.

Знаходження значень математичних виразів.

В 2-му класі учня познайомилися з математичними виразами, які містили дві арифметичні дії різних ступенів, а також виразами, в яких числа поєднані знаками арифметичних дій множення та ділення; знаходили значення виразів з дужками. Але правила порядку дій не були введені.

З правилами порядку виконання дій у виразах учні знайомляться в 3-му класі. Звичайно це відбувалося під час вивчення теми „Таблиці множення та ділення”.

1. Якщо у виразі без дужок є тільки додавання та віднімання, тоді їх виконують в тому порядку,в якому вони записані: 40-12+8=36 57-9-20=28

2. Якщо у виразі без дужок є тільки множення та ділення, тоді їх виконують в тому порядку, в якому вони записані: 24:4:3=2 12:3*2=8 2*2*7=28

3. Якщо у виразі немає дужок, тоді спочатку виконують по порядку множення та ділення, а потім додавання та віднімання: 24-8:4=22 4*3+2*6=24 20+4*7=48

4. Якщо у виразі є дужки,тоді спочатку виконують дії в дужках: 35-(41-24) 36:(13-9)

Вчитель звертає увагу учнів на важливість притримування цих правил при обчисленнях, інакше можна одержати невірну відповідь: 20 – 15:5,

- за правилами порядку дії,отримаємо: 1)15:5=3, 2)20-3=17,тому 20-15:5=17;

- якщо не притримуватися правил: 1)20-15=5, 2)5:5=1, 20-15:5=1 – невірно.

Для закріплення правил порядку дій учням пропонуються завдання:

Розв’язок прикладів з поясненням порядку дій.

Пояснення помилок у порядку виконання дій (завдання на критику помилок).

Використовуючи дужки змінити порядок дій:

5+4*3 ((5+4)*3)

Вправи на прикладання всіх правил порядку дій.

Знайти значення виразів, у яких остання дія віднімання (додавання й тощо):

8 – 8: 2 32 + (17 – 8) 64: 8 – 8

(70 – 7): 7 32 – (17 + 8) (64 – 8): 8

В кожному виразі поставити дужки так, щоб його значення збільшилося:

1 + 8 * 4 24 – 18: 2 + 7 24: 8 – 2

32: 8 – 4 42 – 24: 3 + 3 7 * 3 + 6

При розв’язанні цього завдання учні повинні міркувати так:

1) Яка остання арифметична дія в даному виразі? (1 + 8 * 4 – остання дія додавання.)

2) Яка арифметична дія повинна бути останньою, якщо змінити за допомогою дужок порядок дій? (1 + 8 * 4 – остання дія повинна бути множенням.)

3) Як повинен змінитися один з компонентів, щоб значення збільшилося? (Добуток збільшується, якщо один з доданків збільшується.)

4) Як за допомогою дужок змінити цей компонент? (Можна збільшити перший множник, якщо взяти у дужки суму 1 та 8. (1 + 8) * 4.)

Так можна міркувати при розв’язанні 1-го та 3-го стовпчиків завдань:

(1 + 8) * 4 24: (8 – 2)

32: (8 – 4) 7 * (3 + 6)

Міркування при виконанні завдань 2-го стовпчика можуть бути такими:

1) Яка арифметична дія остання в даному виразі? (18: 2 + 7– остання дія додавання.)

2) Які дії можуть бути останніми при змінені порядку дій? (Або віднімання, або ділення.)

3) При якій арифметичній дії з двох визначених, отримуємо більший результат? (При відніманні отримуємо більший результат, ніж при діленні.)

4) Отже, яка дія повинна бути останньою? (Віднімання.)

5) Як треба змінити один з компонентів дії, щоб результат збільшився? (Щоб різниця збільшилася, треба щоб або зменшуване збільшилося, або від’ємник зменшився.)

6) Який компонент можна змінити? (Можна змінити від’ємник. Від’ємник повинен зменшитися.)

7) Як можна цього досягти? (Щоб від’ємник 18: 2 + 7 зменшився, треба щоб останньою дією було ділення і щоб значення частки було меншим. Значення частки буде меншим, якщо дільник збільшиться. Маємо: 18: (2 + 7).)

8) Запиши відповідь. (24 – 18: (2 + 7))

Замість точок поставити такі знаки арифметичних дій, щоб отримати вірні рівності:

3...6...2= 9 25...5...4...2 = 22

9...3...9 = 36 9...3...6...2 = 6

При розв’язанні прикладів першого стовпчика треба:

1) Число, яке записано після знаку „=” подати у вигляді добутку (частки, суми або різниці). (3...6...2= 9, 9 = 3 * 3.)

2) Чи є серед чисел, що записані ліворуч від знака „=” один з компонентів? (Так, е перший множник 3.)

3) Подумай, за допомогою якої арифметичної дії, яку треба виконати між двома іншими числами, щоб отримати інший компонент дії? (Треба 6: 2 = 3.)

4) Запиши відповідь. (3 * (6:2)= 9 або 3 * 6: 2 = 9)

Аналогічними міркуваннями дістаємо відповідь на друге завдання першого стовпчика:

1) 36 = 9 * 4 = 9 * 3 + 9

2) Є множник 9.

3) За допомогою чисел 3 та 9 або 9 та 3 не можна отримати другий множник 4. Тому користуємося поданням числа 36 у вигляді суми: 9 * 3 + 9.)

Бачимо перший доданок можна отримати, якщо 9 помножити на 3, а другий доданок – це число 9.

4) 9 * 3 + 9 = 36

Розглянемо міркування при розв’язанні прикладів другого стовпчика:

1) Число, яке записано після знаку „=” подати у вигляді добутку (частки, суми або різниці). (25...5...4...2 = 22, 22 = 20 + 2.)

2) Чи є серед чисел, що записані ліворуч від знака „=” один з компонентів? (так, є другий доданок 2.)

3) Подумай, як отримати інший компонент дії? (25... 5...4 = 20. 25: 5 * 4 = 20)

4) 25: 5 * 4 + 2 = 22

Аналогічно: 9...3...6...2 = 6

1) 6 = 3 * 2, 6 = 3 + 3

2) Є множник 2.

3) Треба з чисел 9... 3... 6 = 3 – немає можливостей. Тому розглянемо суму: 6 = 3 + 3. Як отримати з чисел 9... 3 число 3? Дією ділення. Як отримати з чисел 6 та 2 число 3? Дією ділення.

4) 9: 3 + 6: 2 = 6.

Розставити дужки так, щоб рівності були вірними:

12: 2 + 2 * 2 = 6 32: 8 – 2 * 2 = 4 72-24:6+2=66 (72-(24:6+2)=66)

12: 2 + 2 * 2 = 2 32: 8 – 2 * 2 = 8

Розглянемо першу рівність:

1) Число 6 можна подати у вигляді: 6 = 3 * 2, 6 = 4 + 2.

2) У вигляді суми подавати число 6 не можна, тому що 12: 2 не дорівнює 4. Отже будемо виходити з добутку: 6 = 3 * 2. Другий множник, число 2 ми маємо.

3) Подумаємо, як дістати перший множник 3? 12: 2 + 2 – треба розставити дужки так, щоб отримати число 3: 12: (2 + 2).

4) 12: (2 + 2) * 2 = 6.

Аналогічно міркуємо при розв’язанні другого завдання:

1) 2 = 1 * 2 (Ми не дістанемо 1 – 12: 2 + 2.) 2 = 12: 6

2) Є ділене 12.

3) Треба подумати, як з решти чисел і знаків дій отримати число 6: 2 + 2 * 2 = 6.

4) 12: (2 + 2 * 2) = 2

Аналогічно:

32: 8 – 2 * 2 = 4 (32: 8 – 2) * 2 = 4

32: 8 – 2 * 2 = 8 32: (8 – 2 * 2) = 8

72-24:6+2=66 72-(24:6+2)=66

Порівняння числових виразів.

Вирази порівнюються декількома способами:

1. Знаходимо значення кожного виразу і порівнюємо отримані числа. Більше той вираз, значення якого більше. І навпаки.

2. Порівнюємо вирази, аналізуючи їх: 3+5 …3+4 - обидва вирази – суми; в обох сумах однакові перші доданки, значить більший той вираз у якого другий доданок більший: 5 більш ніж 4,тому 3+5 більше 3+4.

3. Перетворення виразу й порівняння виразів 2-им способом: 3*2 + 3 … 3*4

В 3-му класі учням пропонується порівняти вирази і число, при чому вирази містять кілька арифметичних дій. Наприклад:

56: 7 – 7... 5

Зрозуміло, що порівняння даного виразу і числа відбувається першим способом: обчислюється значення виразу: 56: 7 – 7 = 1. Порівнюється отри мане число з даним: 1 < 5. Робимо висновок: 56: 7 – 7 < 5

Цікавим є завдання: підібрати такі числа, щоб нерівності були вірними:

5 * 8 > 5 * … 4 * 7 < … * 8

При розв’язанні цього завдання треба застосувати другий спосіб порівняння виразів:

5 * 8 > 5 * …

1) Порівняйте вирази, записані зліва та справа. Що в них спільного? (Обидва вирази добутки.)

2) Порівняйте компоненти цих виразів? (В них однакові перші множники. В них повинні бути різними другі множники, тому що значення першого виразу більше.)

3) Як треба змінити один з компонентів, щоб значення виразу зменшилося (збільшилося)? (Щоб добуток зменшився, треба щоб і другий множник зменшився. Отже другим множником буде число, яке менше за 8 – це 7 або 6 або 5 або 4 або 3 або 2 або 1 або 0.

4 * 7 < … * 8

1) Порівняйте вирази, записані зліва та справа. Що в них спільного? (Обидва вирази добутки.)

2) Порівняйте компоненти цих виразів? (В них різні другі множники. При чому більше число містить вираз, значення якого більше. Тому якщо ці вирази містимуть однакові перші множники, то значення другого виразу буде все одно більшим! Отже: 4 * 7 < 4 * 8)

Тотожні перетворення виразів

Тотожні перетворення виразів – це заміна даного виразу іншим, значення котрого рівно значенню даного (зазначимо, що це означення вірно лише для чисел, які вивчаються в курсі початкової школи).

Тотожні перетворення в 3-му класі здійснюються на підставі властивостей арифметичних дій та їх наслідків:

1) переставної властивості множення та додавання;

2) сполучної властивості додавання та множення;

3) правил:

- віднімання суми від числа, числа від суми;

- множення числа на суму, суми на число;

а * (в + с) = а * в + а * с

(а + в) * с = а * с + в * с

- ділення суми на число; ділення числа на добуток й тощо.

(а + в): с = а: с + в: с

Вивчаючи властивості арифметичних дій діти впевнюються, що в деяких виразах можна виконувати дії по-різному, але значення їх при цьому не змінюється. Далі знання цих властивостей арифметичних дій учні застосовують для перетворення виразів у тотожні.

52: 4 = (40 + 12): 4 = 40: 4 + 12: 4 = 10 + 3 = 13

Важливо, щоб учні не тільки пояснювали на підставі чого вони отримають наступний вираз, але й розуміли, що всі ці вирази поєднує знак “=” тому,що вони мають однакові значення.

Учні 3-го класу також виконують тотожні перетворення не тільки на підставі властивостей арифметичних дій, але й на підставі їх конкретного змісту дії множення:

3*4 = 3+3+3+3

В 3-му класі учні роблять висновок: якщо у виразі з дужками, дужки не впливають на порядок дій, тоді їх можна не ставити:

18+(8:2) = 18+8:2

Цей висновок роблять при розв’язанні задач за допомогою складання виразу та знаходження значення виразу по діях з поясненням.

Буквені вирази.

Якщо вираз складається також ще й з букв – це буквений вираз.

У процесі виконання завдань на знаходження значень виразів із змінною формується розуміння змінної як букви у виразі,що може набувати деякої множини значень. В учнів має створитися чітке уявлення про те, що у виразу із змінною – буквою не має певного значення, воно залежить від того яке значення приймає буква.

В 3-му класі продовжується робота над виразами з однією змінною, а також вводяться вирази, які містять дві букви.

Спочатку учні знайомляться з буквеними виразами, які утримують дві однакові букви,та вчаться знаходити їх числове значення при заданому значенні букви:

1. а + (а +25),якщо а =12

2. Обчислити значення виразу,якщо а =8: а +6* а

Обчислити значення цього виразу можливо декількома способами:

1 спосіб: підставити значення букви та обчислити значення виразу: а + 6* а,якщо а =8,отримаємо

8 + 6*8 = 8 + 48 = 56

Цей спосіб передбачено підручником. Тому що, даний приклад пропонується після складання таблиці множення числа 6.Але в подальшому навчанні можна використовувати ще й інший спосіб обчислення значення буквеного виразу:

2 спосіб: виконати тотожні перетворення виразу:

1) переставимо місцями доданки: 6* а + а

2) переставимо місцями множники: а *6 + а

3) використаємо конкретний зміст дії множення: а * 7

4) підставимо значення букви та обчислимо значення виразу: 8*7=56.

Зазначимо,що цей спосіб можна запропонувати дітям під час вивчення таблиці множення числа 8.Тобто можна ще раз повернутися до вже розв’язаного прикладу й показати інший засіб розв’язання.

3. Знайти значення виразу: а + а + а + а = а *4, якщо а =7

Тобто тут учні уперше зустрічаються з тим, що буква може бути однаковим доданком, суму однакових доданків можна замінити добутком. Таким чином виконано тотожнє перетворення буквеного виразу, а потім пропонується знайти значення отриманого буквеного виразу. Це означає, що у подальших прикладах на знаходження значень буквених виразів якщо можливо виконувати спочатку тотожні перетворення, які спрощують вираз, а тільки потім знаходити числове значення буквеного виразу при заданому значенні букви.

Далі пропонуються завдання на знаходження значення буквеного виразу, який містить дві різні букви.

При вивченні множення та ділення у межах 1000 букви широко застосовують для узагальнення правил множення та ділення з 1 та 0: пропонується знайти значення буквеного виразу при заданому значенні букви,використовуючи попередні правила, тобто виконуючи тотожні перетворення буквених виразів:

1 * а,якщо а =8 отримаємо 1 * а = а = 8

Взагалі, в 3-му класі новим є використання різних букв латинського алфавіту для позначення змінної; розгляд виразів, у яких змінна повторюється та виразів із двома буквами.

Також учні знайомляться з задачами, які містять буквене дане, та вчаться складати буквений вираз до задачі. У початкових класах вміння розв’язувати ці задачі не входить в обов’язковий мінімум, тому в контрольні роботи вони не включаються. У підручниках задачі з буквеними даними за математичним змістом для учнів не нові. Такі задачі вони вже розв’язували, але з числовими даними. Однією з особливостей в оформленні розв’язку задач з буквеними даними є те, що короткий запис варто поєднувати з розв’язанням задачі.

Наприклад: Від першої корови доярка надоїла а л молока, а від другої – на 3 л більше. Скільки літрів молока доярка надоїла від обох корів?

2. Прочитайте задачу та уявіть про що в ній говориться. Про що говориться в задачі?

3. Запишімо задачу коротко. Які ключові слова можна виділити?

1 корова – а л? – це звичайний короткий запис.

2 корова -?,на 3 л більше

4. За коротким записом (або текстом задачі) поясніть числа задачі. Яке запитання?

5. Скільки літрів молока надоїли від 1-ї корови? 1 корова - а л

6. Скільки літрів молока надоїли від 2-ї корови? 2 корова - (а + 3) л

(Ми не знаємо скільки літрів молока дала 2-га корова, але ми знаємо, що на 3 літри більше ніж 1-ша корова, на 3 л більше – це означає стільки ж скільки 1-ша корова а л, та ще 3 л, тому 2-га корова дала (а + 3) л молока.

7. Яке запитання задачі? Що потрібно знати, щоб відповісти на запитання задачі? Якою дією відповімо на запитання задачі?

.. а + (а + 3) л надоїла доярка від двох корів.

Роботу над задачами, які містять буквене дане можна проводити і за звичайним порядком – за пам’яткою № 3:

Задача. З одного рядка зібрали 6 гарбузів, а з другого а гарбузів. Усі гарбузи розклали в 2 ящики, порівну у кожний. Скільки гарбузів клали в один ящик?

- Що треба знати, щоб відповісти на запитання задачі? (Треба знати два числові значення: 1 – скільки всього гарбузів зібрали з двох рядків, не відомо, та П – скільки було ящиків, відомо, 2.)

- Якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі? (Дією ділення, тому що розклали порівну.)

- Чи можна відразу відповісти на запитання задачі? (Ні, ми не знаємо, скільки всього гарбузів зібрали з двох рядків.)

- Що треба знати, щоб про це дізнатися? (Треба знати два числові значення: 1 – скільки зібрали з 1 –го рядка, відомо, 6, та П – скільки зібрали з другого, відомо, а.)

- Якою арифметичною дією відповімо на запитання? (Дією додавання.)

- Чи можна відразу відповісти на це запитання? (Так, відомі обидва числові значення.) Ми від запитання задачі перейшли до числових даних. Аналіз закінчено.

?: 2

6 + а

- Запишіть розв’язання задачі ви разом.

(6 + а): 2

Якщо умова задачі містить буквене дане, то відповідь записують у вигляді виразу.

Відповідь: (6 + а): 2 л.

Рівняння.

В 3-му класі вводяться поняття: «рівняння», «розв'язати рівняння»; діти вчаться розв'язувати найпростіші рівняння на знаходження невідомого компонента дій додавання і віднімання, множення і ділення двома способами: підбором та на основі взаємозв'язку між результатом і компонентами цієї дії; вчаться доводити, що дане число є розв’язком рівняння.

Ознайомлення з поняттям «Рівняння».

- Знайдіть значення буквеного виразу при х = 4: х + 2.

(Учні вирішують це завдання усно, а вчитель оформляє рішення на дошці)

Рішення.

При х = 4, х + 2 = 4 + 2 = 6

- А тепер змінимо завдання: при якому значенні букви х, буквений вираз має значення 6?

- Виходячи з попереднього завдання, багато хто з вас уже відповіли на це питання. Але нас цікавить, насамперед, як варто міркувати при рішенні цього завдання?

- Звичайно, можна підбирати числа і підставляти замість ікса у вираз і потім знаходити його значення; а потім порівняти отримане число з числом 10. Якщо одержимо вірну рівність, то це шукане значення букви, тобто – рішення завдання.

- Однак, такі міркування дуже довгі. Як відразу одержати рішення?

- Запишемо:

.х + 2 = 6

- Що ми записали?

- Чим відрізняється ця рівність від числових рівностей?

- Чим відрізняється цей запис від буквеного виразу?

- Що в них спільного?

- Отже, рівність, що містить букву – змінну, називається рівнянням.

- Розв'язати рівняння – це значить знайти числове значення букви – змінної, при якому рівність буде вірною.

- При розв’язанні рівняння будемо міркувати так:

Прочитайте рівність.

Що невідомо?

Як знайти невідомий доданок?

Виконайте дії.(х = 6 – 2, х = 4.)

- Перевіримо, чи буде рівність вірною при х=4. Для цього в буквений вираз замість букви підставляємо знайдене числове значення букви ікс: 4 + 2; значення цього вирази повинне дорівнювати числу 6: 4 + 2 = 6. Обчислюємо значення буквеного виразу при х = 4: 4 + 2 = 6 – значення буквеного виразу при х = 4. Порівняємо знайдене значення з числом, що стоїть праворуч від знака рівності: 6 = 6 – одержали вірну рівність.

- Робимо висновок: число 4 є розв’язком даного рівняння, тому що при підстановці даного значення букви, ми одержуємо вірну рівність.

- Отже, ми розв’язали рівняння.

- Розв’язок рівняння треба оформляти так: х + 2 = 6

х = 6 - 2

х = 4……

4 + 2 = 6

6 = 6

Відповідь: 4.

- Поясніть, чому число 4 є розв’язком рівняння.

- Чим відрізняється це завдання від попереднього? (У попередньому завданні потрібно було знайти значення виразу при даному значенні букви, а в даному – ми знаходили значення букви при даному значенні виразу.)

- Скільки може мати розв’язків буквений вираз? (Багато, для кожного значення букви.) Скільки розв’язків може мати рівняння? (Тільки одне, тому що тільки при єдиному значенні букви, рівність буде вірним.)

- Таким чином, розв'язати рівняння – це значить знайти числове значення букви, при якому рівність буде вірним.

- Отже, рівняння – це рівність з буквою – змінною. Розв'язати рівняння це значить знайти числове значення букви, при якому рівність буде вірною.

- Поняття „рівняння” має дві істотні ознаки:

1) це рівність;

2) містить змінну.

- Наведіть приклади числових виразів. Як знайти їхнє значення.

- Наведіть приклади числових рівностей. Що можна про них сказати? Вони вірні чи невірні?

- Наведіть приклади буквених виразів. Що потрібно задати, щоб обчислити їхнє значення? Як обчислити значення буквених виразів.

- Наведіть приклади рівностей, що містять букву. Як вони називаються?

- Що значить розв'язати рівняння?

Перші рівняння з якими знайомляться діти носять назву найпростіших. До найпростіших рівнянь відносяться рівняння на знаходження невідомих доданка,зменшуваного, від’ємника, множника, діленого та дільника,наприклад:

. х – 7 = 3 6 – х = 4 х * 3 = 15 х: 3 = 6 18: х = 9

х = 3+7 х = 6-4 х = 15:3 х = 6*3 х = 18:9

х = 10 х = 2 х = 5….. х = 18 х = 2

10 – 7= 3 6 – 2 = 4 5 * 3 = 15 18: 3= 6 18: 2 = 9

3= 3 4 = 4 15= 15 6= 6 9 = 9

Відповідь:10. Відповідь:2. Відповідь:5. Відповідь:18. Відповідь: 2.

Всі ці рівняння розв’язуються способомна підставі зв’язку між результатами та компонентами дій за допомогою пам’ятки:

Пам’ятка Розв’язання рівнянь 1. Читаю рівняння. 2. Визначаю, що невідомо. 3. Згадую, як знайти невідомий компонент. 4. Виконую дії. 5. Роблю перевірку: підставляю знайдене значення замість букви, визначаю чи буде при цьому рівність вірним. 6. Роблю висновок про рішення даного рівняння. 7. Записую відповідь.

Але деякі рівняння пропонується учням розв’язати й способом підбору: почергово підставляються у рівняння замість змінної запропоновані значення; значення, при якому отримаємо вірну числову рівність і є розв’язанням рівняння.

Додатково можна познайомити учнів з способом розв’язування рівнянь на підставі властивостей рівності. Розглянемо кілька прикладів.

1) х – 7 = 3 х – 7 = 10 – 3 х = 10 Відповідь: 10.

1. Лівій частині записана різниця з від’ємником 7.

2. Подамо праву частину у вигляді різниці з від’ємником 7. (З якого числа треба відняти 7, щоб отримати 3? Це 10.)

3.Порівняємо дві різниці:

- Чим вони схожі? (В них однакові від’ємними.);

- Чим вони відрізняються? (Зменшуваними.);

- Зроби узагальнюючий висновок. (Дві різниці з однаковими від’ємниками рівні тоді і тільки тоді, коли й зменшувані рівні.)

4. Запиши відповідь.

На підставі розв’язання аналогічних завдань і їх аналізу учні узагальнюють спосіб розв’язування рівнянь на підставі властивостей рівності:

- Коли його можна застосовувати цей спосіб? (Якщо і праворуч і ліворуч записані однакові математичні вирази, які містять однаковий компонент.)

- В чому він полягає? (Треба порівняти математичні вирази: якщо між однаковими математичними виразами, які містять спільний компонент, стоїть знак рівності, то й другий компонент в них так само, однаковий.)

Розглянемо ще один приклад рівняння, яке так само можна розв’язати зазначеним способом: 40 + х = 44

2) 40 + х = 44 40 + х = 40+ 4 х= 4 Відповідь: 4.

Прочитайте ліву частину рівняння.

- Прочитайте праву частину рівняння.

- Що записано в лівій частині? (Сума чисел 40 та х).

- Що записано в лівій частині? (Число 44).

- Для того, щоб розв’язати це рівняння способом на підставі властивостей рівності, що потрібно бути в правій частині? (Потрібно, щоб справа була сума.)

- Чи будь-яка сума нас задовольнить? (Ні потрібно, щоб була сума, що міститиме доданок – 40.)

- Заміни праву частину таким самим виразом з даним числовим компонентом. Замініть число 44 такою сумою. (44 = 40 + 4.)

- Таким чином, отримаємо рівняння: 40 + х = 40 + 4.

- Порівняй вирази, записані ліворуч та праворуч. Зроби узагальнюючий висновок. (Справа та зліва записані суми, які містять спільний доданок – число 40; між цими сумами стоїть знак рівності, тому інший доданок також однаковий. Отже х = 4.)

- Запиши відповідь.

Узагальнюємо міркування і формулюємо пам’ятку:

Пам’ятка Розв’язування рівнянь Спосіб на підставі властивостей рівності. 1. Що записано в лівій частині? 2. Що записано в правій частині? 3. Заміни праву частину таким самим виразом з даним числовим компонентом. 4. Порівняй вирази, записані ліворуч та праворуч. Зроби узагальнюючий висновок. 5. Запиши відповідь.

3) 6 – а = 4 6 – а = 6 - 2 а= 2 Відповідь: 2.

4) в * 3 = 15 в * 3 = 5 * 3 в= 5 Відповідь: 5.

5) к: 3 = 6 к: 3 = 18: 3 кв= 18 Відповідь: 18.

5) 18: р = 9 18: р = 18: 2 р = 2 Відповідь: 2.

Отже, в 3-му класі рівняння розв’язуються трьома способами:

1. Способом підбору:

знайдіть серед чисел те, при якому рівність буде вірною: 6,9,11 а – 2 = 7

2.Спосібом на підставі взаємозв’язку між результатом та компонентами арифметичних дій.

3. Способом на підставі властивостей рівності.

Наприклад:

Розв’язування задач способом складання рівняння.

Мета: формувати уміння розв'язувати найпростіші рівняння. Познайомити учнів з розв’язанням простих задач на знаходження невідомого доданка, зменшуваного і від’ємного, способом складання рівнянь навчити складати рівняння по тексту простої задачі.

Задача. Невідоме число збільшили на 12 і отримали 36. Знайди невідоме число.” За цією умовою склади рівняння і розв’яжи його.

- Про що йде мова в задачі? (В задачі говориться про невідоме число, яке збільшили на 12 й отримали 36)

- Що означає,що число збільшили на 12? (Це означає,що до цього числа додали 12)

- Скільки отримали в результаті додавання? (36)

- Що є шуканим в задачі? (Шуканим є число, яке невідоме.)

- Позначимо невідоме число буквою, наприклад х. Нагадайте,що відбулося з цим числом? (До числа х додали 12 і отримали 36.)

- Запишіть рівність. (х + 12 = 36)

- Що ми отримали? (Рівняння.) Розв’яжемо рівняння і дізнаємося про шукане число.

- Прочитайте рівняння. Що невідомо? (Невідомий перший доданок.)

- Як знайти перший доданок? (Щоб знайти перший доданок, треба від суми відняти другий доданок.)

- Виконайте дії. (х = 36 – 12

х = 24)

- Зробіть перевірку. (до 24 додати 12 повинно бути 36: 24+12 = 36; додаємо до 24 число 12, буде 36, таким чином отримали вірну рівність: 36=36, тому х = 24, є розв’язком рівняння, а значить і шуканим числом.)

- Запишіть відповідь.(Відповідь: 24 – невідоме число.)

- Як можна було по-іншому розв'язати цю задачу? Іншим способом? (Можна було міркувати так: два числа в сумі складають 36, причому друге число – 12; потрібно знайти перше число. Отже сума - 36 складається з двох доданків, другий з яких 12. Невідомо перший доданок. Для того, щоб відповісти на запитання задачі досить знати два числових значення: 1 – суму, відомо – 36, і П – другий доданок, відомо – 12. Відповімо на запитання дією віднімання, тому що, якщо із суми двох чисел відняти один доданок, то залишиться другий доданок. Розв’язання. 36 – 12 = 24. Відповідь: 24 – невідоме число.)

- Чим відрізняється цей спосіб розв’язання від попереднього? (Тут ми розв’язували задачу виконанням арифметичної дії – віднімання між двома даними числами. А в попередньої – ми складали і розв’язували рівняння.)

Пам'ятка Розв’язування задач способом складання рівняння 1. Прочитай задачу і уяви те, про що в ній говориться. 2. Поясни, що позначають числа задачі. 3. Поясни,що є шуканим - невідомим у задачі. 4. Познач невідоме буквою, наприклад – х. 5. Виділи зв'язки невідомого з іншими числовими даними задачі. Склади рівняння. 6. Розв’яжи рівняння і зроби перевірку. 7. Дай відповідь на питання задачі.

Таким чином, задачі можна розв'язувати не тільки виконанням арифметичних дій, але і способом складання рівнянь. Міркувати при цьому потрібно так:

Нерівності із змінною.

Ознайомлення з нерівностями із змінною відбувається в 3-му класі.

Під час введення поняття про нерівності із змінною пропонується бесіда:

- Як називаються записи: 37 – 29, 14: 2 + 4? (Це вирази.)

- Як називаються записи: а + 25, 12: в + 7? (Це буквені вирази, вираз із змінною.)

- Чим відрізняється перша група виразів від другої? (Перша група виразів – це числові вирази – вони містять лише числа, які з’єднані знаками арифметичних дій; а друга група – це вирази із змінною – вони містять крім чисел ще й букву.)

- Як називаються записи: 12 < 16; 25 – 6 > 17? (Це нерівності.) Два числа або два вирази, які поєднані знаками: >, <, = - називаються нерівностями.)

- Як би ви назвали запис: 25 – с > 17? (Це нерівність, яка містить букву – нерівність із змінною.)

- Буквена нерівність, або нерівність із змінною, є правильною,якщо с набуває значень 1 або 2 або 3 або 4 або 5 або 6 або 7. Буквені нерівності ми будемо розв’язувати добором і випробуванням обраних чисел: кожне з даних чисел підставляється у нерівність замість букви; якщо отримуємо вірну числову нерівність, то дане число є розв’язком; якщо отримуємо невірну числову нерівність, то це число не є розв’язком нерівності із змінною..

1. Із даних чисел 6,7,8,9,10 виписати ті, для котрих вірна нерівність:

k + 2 > 10.

Працювати над цією вправою ми будемо за пам’яткою:

Пам’ятка.

1)Знайти значення буквеного виразу при заданому значенні букви.

2)Порівняти ці числа.

3)Якщо числова нерівність є вірною, тоді це значення букви є розв’язком.

Розв’язання

k + 2 > 10.

1) При к = 6, 6 + 2 > 10

2) 8 > 10 – невірна нерівність

3) Число 6 не є розв’язком нерівності к + 2 > 10

1) При к = 7, 7 + 2 > 10

2) 9 > 10 – невірна нерівність

3) Число 7 не є розв’язком нерівності к + 2 > 10

1) При к = 8, 8 + 2 > 10

2) 10 > 10 – невірна нерівність

3) Число 8 не є розв’язком нерівності к + 2 > 10

1) При к = 9, 9 + 2 > 10

2) 11 > 10 – вірна нерівність

3) Число 9 є розв’язком нерівності к + 2 > 10

1) При к = 10, 10 + 2 > 10

2) 12 > 10 – вірна нерівність

3) Число 10 є розв’язком нерівності к + 2 > 10

З цього випливає, що при к >8нерівність k + 2 > 10 буде вірною.

Відповідь: 9, 10.

На перших етапах засвоєння розв’язування нерівностей із змінною слід запропонувати учням для розв’язання певну кількість завдань, при чому, кожний етап розв’язання,згідно пам’ятці, записуємо у зошит; далі міркуємо усно, записуючи лише відповідь.

2. Знайди два таких значення к, щоб нерівність к * 7>40 була вірною.

Розв’язуючи це завдання учні самі повинні підібрати числа, які слід випробувати за пам’яткою. Підбор значень змінної к здійснюється на підставі знання таблиці множення числа 7. Учням пропонується назвати добутки із таблиці множення числа 7, які більше числа 40 (це 42, 49, 56, 63, 70); встановити множенням яких чисел на 7 вони отримані (6, 7, 8, 9, 10); перевірити і довести, що ці числа є розв’язками даної нерівності (за пам’яткою № 1).

При к >5, нерівність к * 7>40 буде вірною.

Відповідь: 6; 7; 8; 9...

3. Для кожної нерівності добери два значення букви а, щоб нерівність була вірною: 20 – а > 15 а * 4 < 36 а: 8 > 4

При розв’язанні цих нерівностей можна запропонувати учням раціональний прийом підбору змінної у нерівності:

Пам’ятка № 2:

1) Навожу до рівняння. Визначаю при якому значенні букви отримаємо вірну рівність.

2) Записую отримане число, підкреслюю його і записую його сусідів.

3) Підставляю число, до знайденого і встановлюю чи є воно розв’язком нерівності.

4) Роблю висновок: якщо так, то виписую декілька чисел,які при рахунку називаються знайденого числа.

Цей спосіб розв’язання нерівностей із змінною називається наведенням до рівняння.

Розв’язання

20 – а > 15

1) 20 – а = 15

а = 20 – 15

а = 5

2) … 5 …; … 4, 5, 6 …

3) 20 – 4 > 15

16 >15 –вірна нерівність, тому число 4 є розв’язком нерівності

4) 4, 3, 2, 1, 0.

Відповідь: 4, 3, 2, 1, 0.

а * 4 < 36

1) а * 4 = 36

а = 36: 4

а = 9

2) … 9 …; … 8, 9, 10 …

3) 8 * 4 < 36

32< 36 – вірна нерівність, тому число 8 є розв’язком нерівності

4) 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0.

Відповідь: 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0.

а: 8 > 4

1) а: 8 = 4

а = 4 * 8

а = 32

2) … 32 …; записуємо із таблиці ділення на 8 ділені, що менше за 32 та більше за 32:

… 24, 32, 40 …

3) 40: 8 > 4

5> 4 – вірна нерівність, тому число 40 є розв’язком нерівності

4) виписую із таблиці ділення на 8 всі ділені, починаючи з 40: 40, 48, 56, 64, 72, 80.

Відповідь: 40, 48, 56, 64, 72, 80.

Третій спосіб розв’язання нерівностей із змінною полягає на залежності між результатами і компонентами арифметичних дій.

25 – в > 20

- Прочитайте ліву частину нерівності.

- Прочитайте праву частину нерівності.

- Подайте праву частину у вигляді різниці.

- Що істотного повинно бути в цій різниці? (Зменшуване – число 25).

- Замінюємо праву частину нерівності різницею з зменшуваним 25 (20 = 25–5), таким чином отримаємо: 25 – в > 25 – 5.

- Порівняйте дві різниці з однаковими зменшуваними. (В цих різницях однакові зменшувані, а відрізняються вони від’ємниками. Різниця в лівій частині більша за різницю в правій частині.)

- Згадайте в яких випадках різниця збільшується при зміні від’ємника. (Різниця збільшується, якщо від’ємник, навпаки зменшується.)

- Який висновок можна зробити? (Із двох різниць з однаковими зменшуваними більша та, в якій від’ємник менший.)

- Якщо від’ємник повинен бути меншим, то які значення набуває змінна в? (в<5. Відповідь: 0;1;2;3;4.)

x * 70 < 280. Подамо праву частину нерівності, число 280, добутком двох чисел з другим множником 70: 280 = 4 * 70. Отримаємо нерівність x * 70 < 4 * 70. Порівнюємо добутки, записані в правій та лівій частині. Згадуємо взаємозв’язок між добутком і множниками: добуток зменшується, коли множник зменшується. З двох добутків з однаковим другим множником менше той, у якого перший множник менше. Робимо висновок: x < 4 Відповідь: 0;1;2;3.

Зразок запису в зошиті:

x * 70 < 280

x * 70 < 4 * 70

x < 4

Відповідь: 0;1;2;3.

x + 40 < 45. Алгоритм розв’язання:

1) Подаю праву частину, 45, сумою з другим доданком 40. 45 = 5 + 40.	x + 40 < 5 + 40
2) Порівнюю суми. Згадую зв’язок суми і доданка: сума зменшується, якщо доданок зменшується. Отже, із двох сум з однаковими другими доданками менша та, в якій перший доданок менше.
3) Робимо висновок.	x < 5 Відповідь: 0;1;2;3;4.

120: x > 24

1) Подаю праву частину, 24, у вигляді частки з діленим 120. 24 = 120: 5	120: x > 120: 5
2) Порівнюю частки. Згадую залежність між часткою та діленим. Частка збільшується, якщо дільник зменшується. З двох часток з однаковими діленими більше та, в якій дільник менше.
3) Роблю висновок.	x < 5 Відповідь: 0;1;2;3;4.

Таким чином, нерівності із змінною розв’язуються трьома способами:

1. Способом підбору.

2. Способом наведення до рівняння.

3. Способом на підставі взаємозв’язку між результатами і компонентами арифметичних дій.

Наприклад:

Геометричний матеріал в курсі математики 3-го класу.

Геометрична фігура – це множина точок площини. В 3-му класі не вивчаються нові геометричні фігури, а розглядаються лише ті, що були введені у попередніх класах: точка, пряма та крива лінії, відрізок, ламана, многокутники: трикутник, чотирикутник, п’ятикутник..., з чотирикутників – прямокутник і квадрат, коло і круг. Але, завдяки введенню латинського алфавіту, коли кожна точка отримує ім’я у вигляді великої літери латинського алфавіту відбувається систематизація, узагальнення і поглиблення раніш отриманих знань.

Згідно нової програми в 3-му класі учні креслять і вимріють довжину відрізків, ламаної лінії; визначають периметр многокутника, в тому числі прямокутника і квадрата, знаходять сторони квадрата за його периметром; будують прямокутники і квадрати на папері в клітинку за даними сторін.

Засвоєння геометричного матеріалу відбувається головним чином під час практичних робіт (вимірювання, викреслювання та моделювання) і розв’язування задач, а не в результаті вивчення теорії. Тому ми пропонуємо класифікацію задач з геометричним змістом і наводимо приклади задач кожної групи.

1 група задач – задачі на повторення усіх вивчених геометричних фігур.

Завдання 1. За малюнком назвати геометричні фігури і розповісти про кожну фігуру.

Завдання 2.

1) Назви кожну фігуру, яка не є многокутником.

2) Скільки многокутників, назви кожний.

Завдання 3.

1) Назви геометричні фігури

2) Чим відрізняються квадрати, які

зображено ліворуч від квадратів праворуч?

П група. Позначення геометричних фігур літерами латинського алфавіту і правильне їх читання.

Завдання 1. Назви, які фігури зображено.

А В – відрізок АВ. А кут АОВ або кут О

N О В АОВ, О

Трикутник М N О М N прямокутник МNОК. Не можна

читати МNКО або МКNО. Букви

М N О читають послідовно!

M O

К О

Завдання 2.

А В К М А К А В А 1) Перевір, чи вірно записані

назви усіх прямокутників і

М О квадратів:

D C M K

M P

P O

Прямокутники: АВС D; КМРО; АВКМ; МАОР.

Квадрати: АВС D; МАОР.

2) Який прямокутник називається квадратом?

Ш група. Задачі на належність точок та відрізків даній фігурі.

Завдання 1. О

А С В

1) Назви точки, які належать прямій (А; В; С).

2) Назви точки, які не належать прямій. (К; О; Р).

Завдання 2.

К 1) Назви точки, які належать кругу. (А;О;Е; N).

N 2) Назви точки, які не належать кругу. (С;В;К).

О В

Завдання 3. Назви трикутники з спільною стороною ВС. (АВС та ВСК)

А С К

Завдання 4. Назви фігури, яким належить точка О. (АВСD, АВFK)

B F C

A K D

Завдання 5. Назви фігури, які містять кут А. (АВК; АВ D; чотирикутник АВС D)

В С

А К D

1У група. Задачі на побудову відрізків та порівняння їх довжин.

Завдання 1. Накресли такі самі відрізки, виміряй їх довжину і порівняй довжини цих відрізків.

А В

С D

(АВ = 2 см, С D= 6 см; 6: 2 = 3. Відрізок С D довше відрізка АВ в 3 рази. Відрізок АВ коротше відрізка С D в 3 рази.)

Завдання 2. Виміряй відстань між точками С та D; А та В і порівняй довжини відрізків С D та АВ.

Завдання 3. Накресли пряму лінію, відклади на ній відрізок, який дорівнює сумі відрізків АВ та М N.

А В

С N

Розв’язання

Р С К

Завдання 4. Накресли такий самий прямокутник АВСД, накресли довільну пряму і від точки О відклади послідовно усі сторони прямокутника. Виміряй довжину отриманого відрізку.

В С