Задачі, пов’язані з одиничною нормою.

Якщо в задачах з пропорційними величинами одну з величин задати не однаковими числовими значеннями, а їх різницевим відношенням, то отримаємо ускладнену задачу на знаходження четвертого пропорційного, інакше їх називають задачами, пов’язаними з одиничною нормою. Розглянемо методику введення задач даного виду.

Підготовча робота.

На ступені підготовчої роботи розв’язуються задачі на знаходження четвертого пропорційного, а також задачі, в яких величина однієї одиниці не є однаковою та дано її значення для першого випадку, а для другого - різницеве або кратне відношення. Наприклад:

Задача1. Вівці на кожний день необхідно 5 л води, а ягняті – на 2 л менше. Скільки літрів води необхідно для 8 ягнят?

	Загальний об’єм Води (л)	Об’єм води на 1 тварину (л)	Кількість тварин (шт.)
Вівця		5 л
Ягня	?	?, на 2 л м.	8 шт.

Задача 2. На першому верстаті за час виготовили 4м тканини, а на другому – на 3 м більше, ніж на першому. За скільки годин на другому верстаті можна виготовити 66 м тканини?

Верстати	Час роботи (год)	Продуктивність Праці (кількість м за годину)	Загальний Виробіток (м)
		4 м
П	?	?,на 3 м б	56 м

Задача 3.Маса вівці 32 кг, а маса індика в 4 рази менше. Яка маса 9 таких індиків?

	Кількість (т..)	Маса 1 тварини (кг)	Загальна маса (кг)
Вівця		32 кг
Індичка	9 шт.	?, у 4 р. М.	?

Ознайомлення.

Ознайомлення можна здійснити на підставі порівняння задачі на знаходження четвертого пропорційного і ускладненої задачі.

Задача. (Підготовча. На знаходження четвертого пропорційного) На першому верстаті за 8 год виготовили 16 м тканини. Скільки метрів тканини виготовлять на другому верстаті за 6 год, якщо продуктивність праці обох верстатів однакова?

	Продуктивність праці: Виготовлено за 1 год (м)	Час роботи: Кількість годин (год.)	Загальний виробіток: Всього виготовлено тканини (м)
	?	8 год.	16 м
	однакова
П	?,	6 год.	? м.

Учням пропонується на короткому записі показати прості задачі з яких складається дана задача:

	Продуктивність праці: Виготовлено за 1 год (м)	Час роботи: Кількість годин (год.)	Загальний виробіток: Всього виготовлено тканини (м)
	?	8 год.	16 м
	однакова
П	?,	6 год.	? м.

Розв’язання:

1) 16: 8 = 2 (м) продуктивність праці, однакова величина.

2) 2 * 6 = 12 (м) загальний виробіток П верстата.

Або 16: 8 * 2 = 12 (м)

Відповідь: 12 м тканини виготовлять на другому верстаті за 6 год, якщо продуктивність праці обох верстатів однакова.

Задача. На першому верстаті за 8 год виготовили 16 м тканини. На другому – за 1 год виготовляли на 2 м тканини більше, чим за цей час на першому верстаті. Скільки метрів тканини виготовлять на другому верстаті за 6 год?

Учні читають задачу, уявляють про що в ній розповідається, виділяють величини задачі і складають короткий запис.

	Продуктивність праці: Виготовлено за 1 год (м)	Час роботи: Кількість годин (год.)	Загальний виробіток: Всього виготовлено тканини (м)
	?	8 год.	16 м
П	?, на 2 м більше	6 год.	?

За коротким записом діти пояснюють що означає кожне число і називають запитання задачі. Потім вчитель пропонує порівняти цю задачу з попередньою. Учні встановлюють, що вони містять однакові величини, в обох йде мова про два верстати, є однакові числові дані одних і тих самих величин. Відрізняються ці задачі тим, що продуктивність праці обох верстатів в першій задачі однакова, а в другій задачі не однакова. Отже, знайшовши продуктивність праці, однакову величину, за даними двох відомих величин першого випадку, ми другою дією змогли відповісти на запитання попередньої задачі. А в цій задачі, продуктивність праці верстатів не однакова, тому ми не можемо відразу першою дією, дізнатися про продуктивність праці другого верстата; цю задачу ми не можемо розв”язати двома діями.

- Що треба знати, щоб відповісти на запитання задачі? (Треба знати два числові значення:! – продуктивно сіть другого верстату (не відома) і П час роботи (6 годин).)

- Якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі? (Дією множення)

- Чи можна відразу відповісти на запитання задачі? (Не можна, ми не знаємо продуктивність другого верстату.)

- Що треба знати, щоб дізнатися про продуктивність другого верстату? (Два числові значення: 1 – продуктивність першого верстату (не відома) та П – на скільки метрів більше виготовляють за 1 годину на 2-му верстаті, ніж на 1-му (відомо, на 2).)

- Якою арифметичною дією відповімо на це запитання? (Дією додавання.)

- Чи можна відразу відповісти на це запитання? (Не можна, ми не знаємо продуктивність праці 1-го верстата.)

- Що треба знати, щоб про це дізнатися? (Треба знати два числові значення: 1 – загальний виробіток першого верстата (відомо, 16 м) та П – час роботи першого верстата (відомо, 8 годин))

- Якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі? (Дією ділення.)

- Чи можна відразу відповісти на це запитання? (Так, тому що нам відомі обидва числові значення. Отже ми від запитання задачі перейшли до числових даних. Аналіз закінчено.)

3)? * 6

2)? + 2

1) 16: 8

Покажіть на короткому записі прості задачі, з яких складається дана задача:

	Продуктивність праці: Виготовлено за 1 год (м)	Час роботи: Кількість годин (год.)	Загальний виробіток: Всього виготовлено тканини (м)
1 2	1)?	8 год.	16 м
П	3)?, на 2 м більше	6 год.	? м.

Далі учням пропонується скласти план розв’язування задачі і записати розв’язок по діях з поясненням.

План:

Скільки метрів тканини виготовили за 1 год на першому верстаті?
Скільки метрів тканини виготовили на другому верстаті за 1 годину?
Скільки метрів тканини виготовили на другому верстаті за 6 годин?

Розв’язання.

1) 16: 8 = 2 (м) тканини за 1 годину - продуктивність праці 1-го верстату;

2) 2 + 2 = 4 (м) тканини за 1 годину - продуктивність праці 2-го верстату;

3) 4 * 6 = 24 (м) тканини за 6 год на другому верстаті.

Або (16: 2 + 2) * 6 = 24 (м)

Відповідь: 24 м тканини виготовлять на другому верстаті за 6 годин.

Щоб перевірити вірність розв’язання корисно скласти обернену задачу:

8, 16, 2, 6, 24.

На одному верстаті виготовили на 8 годин 16 м тканини, а на другому за 6 годин виготовили 24 м. На скільки більше тканини виготовляли за 1 годину на другому верстаті, ніж на першому?

Розв’язання

1) 16: 8 = 2 (м) тканини виготовляли за 1 год на першому верстаті;

2) 24: 6 = 4 (м) тканини виготовляли за 1 год на другому верстаті;

3) 4 – 2 = 2 (м) на стільки більше виготовляли за 1 год на другому верстаті, ніж на першому.

Або 24: 6 – 16: 8 = 2 (м)

Відповідь: на 2 м тканини більше виготовляли за 1 год на другому верстаті, ніж на першому.

На етапі закріплення учням пропонується прочитати задачу “ Робітник за 3 год змонтував 18 дрелей. Скільки дрелей він змонтує за 2 год, якщо що години буде монтувати на 1 дрель більше, ніж раніше?”. Скласти до неї короткий запис, за коротким записом пояснити числа задачі і запитання, порівняти цю задачу з попередньою. Учні роблять висновок, що ці задачі одного виду, тому вони мають схожі плани розв’язування.

Першою дією дізнаємося про величину продуктивності праці (1 одиниці)для 1-го видку.

Другою дією дізнаємося про величину (продуктивності праці) 1 одиниці для 2-го випадку.

Третьою дією відповімо на запитання задачі.

Розв’язання:

1) 18:3=6(д.)

2) 6+1=7(д.)

3) 7*2=14(д.)

Відповідь: 14 дрелей.

Отже, якщо ми зустрінемо задачу такої математичної структури, то вона матиме зазначений план розв’язування.

Ознайомлення з задачами П-го виду.

Ознайомлення можна провести на підставі розв’язання задачі 1-го виду і складання оберненої задачі:

Задача 1.(1 вид) В перший день завод за 7 год виготовив 28 холодильників. В другий день за одну годину завод виготовив на один холодильник більше, ніж в перший. Скільки холодильників виготовить завод в другий день за 5 годин?

	Продуктивність праці (шт..)	Час роботи (год.)	Загальний виробіток (шт..)
1 день	?	7 год.	28 шт.
2 день	?, на 1 шт. б.	5 год.	?

План розв’язування.

1) Скільки холодильників виготовив завод за 1 годину в перший день?

2) Скільки холодильників виготовив завод за 1 годину в другий день?

3) Скільки холодильників виготовив завод за другий день?

Розв’язання

1) 28: 7 = 4 (шт..) холодильників за 1 год в 1 день;

2) 4 + 1 = 5 (шт..) холодильників за 1 год в П день;

3) 5 * 5 = 25 (шт..) холодильників за 5 год. В П день.

Або (28: 7 + 1) * 5 = 25 (шт..)

Відповідь: 25 холодильників виготовить завод в другий день за 5 годин.

Виписуємо і пояснюємо числа задачі:

7, 28, 1, 5, 25 - пряма задача.

Складаємо обернену задачу:

7, 28, 1, 5, 25.

Задача 2. (П вид) В перший день завод за 7 год виготовив 28 холодильників. В другий день за одну годину завод виготовив на один холодильник більше, ніж в перший. За скільки годин виготовить завод в другий день 20 холодильників?

	Продуктивність праці (шт..)	Час роботи (год.)	Загальний виробіток (шт..)
1 день	?	7 год.	28 шт.
2 день	?, на 1 шт. б.	? год.	25 шт.

Порівнявши короткі записи цих задач, учні встановлюють, що вони дуже схожі за математичною структурою; вони відрізняються лише одним числовим даним. Тому вони матимуть схожі плани розв’язування. На короткому записі показуємо прості задачі і складаємо план розв’язування.

План розв’язування:

1) Скільки холодильників виготовив завод за 1 годину в перший день?

2) Скільки холодильників виготовив завод за 1 годину в другий день?

3) За скільки годин завод виготовить в другий день 20 холодильників?

Розв’язання

1) 28: 7 = 4 (шт..) холодильників за 1 год в 1 день;

2) 4 + 1 = 5 (шт..) холодильників за 1 год в П день;

3) 25: 5 = 5 стільки годин працював завод в П день.

Або 25: (28: 7 + 1) = 5

Відповідь: за 5 год виготовить завод в другий день 20 холодильників.

Після розв’язання учні порівнюють розв’язки прямої і оберненої задач:

- ці задачі схожі за математичною структурою; схожі розв’язання цих задач – в них однакові перші дві дії;

- задачі відрізняються одним числовим даним і останнєю дією: в прямій задачі остання дія множення, а в оберненій – ділення.

Висновок: хоча ці задачі мають схожі математичні структури, але їх розв’язки відрізняються останніми діями: в першій – це дія множення, а в другій – ділення. Перша задача – це задача 1-го виду, а друга – П-гого виду.

Формування умінь розв’язувати задачі, пов’язані з одиничною нормою.

На етапі закріплення прочитавши задачу і склавши її короткий запис діти визначають її вид і згадують спосіб розв’язування. Після розв’язання задачі відбувається перетворення її в обернену та її розв’язання.

З моменту, коли учні відразу впізнають задачу даного виду і згадують її план розв’язування, можна запропонувати дітям схематичну форму короткого запису.

Задача. За 6 днів майстерня налагодила 42 сівалки. Скільки сівалок отре монтує майстерня за 3 дні, якщо кожного дня ремонтуватиме на 2 сівалки більше?

6 д. – 42 с. 3 д. (на 2 с. більше) -?

Заслуговують на увагу задачі, в яких одна з величин задається кратним відношенням: При ходьбі людина за 1 хвилину вдихає 9 л повітря, а під час бігу в 5 разів більше. Скільки літрів повітря вдихає людина під час бігу за 2 хвилини?