Частотная характеристика оптимального фильтра может быть найдена как прямое преобразование Фурье импульсной характеристики:
.
Таким образом, частотная характеристика оптимального фильтра с точностью до множителя К описывается сопряженным спектром принятого сигнала и множителем запаздывания exp(- iωt 0).
Поскольку спектр сигнала может быть выражен через его модуль и аргумент
,
частотная характеристика оптимального фильтра может быть представлена в виде
,
откуда следуют амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики оптимального фильтра
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) оптимального фильтра оказывается согласованной с амплитудно-частотным спектром (АЧС) принятого сигнала (рис. 5.3). Оптимальный фильтр наилучшим образом пропускает те спектральные составляющие, которые наиболее сильно выражены в спектре. Слабые спектральные составляющие подавляются, в противном случае наряду с ними пройдут интенсивные составлявшие помехи в широком диапазоне частот. Форма амплитудно-частотного спектра сигнала на выходе фильтра искажается, что является одной из причин искажения формы сигнала. Однако задачей оптимальной фильтрации является не точное воспроизведение формы сигнала, а наилучшее выделение его на фоне помехи, т.е. обеспечение наилучших характеристик обнаружения.
Рис. 5.3. Амплитудно-частотная характеристика оптимального фильтра.
Фазочастотная характеристика (ФЧХ) оптимального фильтра складывается из фазочастотного спектра (ФЧС) принятого сигнала, взятого с обратным знаком, и аргумента задержки (- ωt 0) (рис. 5.4). Чтобы убедиться в целесообразности такого выбора фазочастотной характеристики, найдем сигнальную составляющую напряжения на выводе фильтра, зная спектр сигнала на входе
,
и определяя спектр сигнала на выходе фильтра
.
Рис. 5.4. Фазо-частотная характеристика оптимального фильтра.
Сигнал на выходе фильтра определяется обратным преобразованием Фурье от спектра:
Как видим, напряжение на выходе оптимального фильтра, являясь наложением гармонических составляющих разных частот, определяется только амплитудно-частотным спектром сигнала. Оно не зависит от фазо-частотного спектра, так как последний компенсируется фазо-частотной характеристикой фильтра. Поэтому все гармонические составляющие одновременно достигают амплитудных значений в момент t = tr + t 0 и эти значения налагаются друг на друга (рис. 5.5).
Рис. 5.5. Наложение гармонических составляющих сигнала на выходе оптимального фильтра.
В этот момент имеет место максимум выходного сигнала
,
причем, чем шире спектр сигнала, т.е. чем больше спектральных составлявших налагается друг на друга, тем меньше длительность выходного сигнала:
В заключение уместно сделать замечание по используемой терминологии. Рассмотренный фильтр, реализующий основную операцию оптимальной обработки - вычисление корреляционного интеграла, называют оптимальным. Учитывая согласованность АЧХ в ФЧХ фильтра с АЧС и ФЧС принятого сигнала, его часто называют согласованным фильтром. Применительно к рассмотренному случаю помехи в виде белого гауссова шума термины "оптимальный" и "согласованный" фильтр являются синонимами.
