Отношение правдоподобия. Алгоритм обработки

 

Принятый одиночный сигнал можно рассматривать как функцию времени с известным законом модуляции, но неизвестными параметрами - временем запаздывания t_r, доплеровским сдвигом частоты F _дс , амплитудой E _с и фазой φ _c. Неопределённость относительно времени запаздывания и доплеровского сдвига частоты заставляет просматривать (одновременно или последовательно) все элементы разрешения по t_r и F _дс и принимать решения по каждому из них. Амплитуду и фазу принятого сигнала следует считать случайными, но постоянными на интервале, равном длительности сигнала T ₀, поскольку длительность одиночного сигнала, как правило, значительно мень­ше времени корреляции амплитудных и фазовых флуктуации принятого сигнала (T ₀ << τ _с).

Представим одиночный сигнал в следующем виде:

 

 

Помеху будем считать стационарным нормальным случайным процессом с комплексной огибающей N (t)

 

 

с нулевым средним значением

 

.

 

Учитывая особенность задачи, обработки одиночных сигналов как задачи внутрипериодной обработки, можно воспользоваться единым представлением шумов и мешающих отражений, так как внутрипериодная структура мешающих отражений аналогична структуре шума: ширина спектра внутрипериодной структуры мешающих отражений опреде­ляется шириной спектра модуляции зондирующего сигнала. Поэтому в первом приближении и шум, и мешающие отражения в рассматриваемой задаче можно считать белым шумом со спектральной плотностью соответственно:

- для шума,

- для мешающих отражений.

Значения сигнала и помехи в дискретные моменты времени t_g = g ·Δ t представить в виде:

 

,

.

 

При этом корреляционные свойства дискретных значений помехи, мешающей обнаружению одиночного сигнала, описываются символом Кронекера:

 

, .

 

Найдем отношение правдоподобия, определяющее структуру уст­ройства оптимальной обработки одиночного сигнала. Многомерная плотность вероятности дискретных значений входного сигнала f_g в отсутствие полезного сигнала (f_g = n_g) определяется выражением

 

,

 

где L = T ₀/Δ t - число дискретных значений за длительность одиночного сигнала.

При наличии полезного сигнала дискретные значения входного сигнала f (t) равны: f_g = m_g + n_g.

Учитывая, что полезный сигнал за время, равное его длительности, является известной функцией времени с постоянной амплитудой и фазой, можно утверждать, что наличие сигнала приводит лишь к смещению распределения величин f_g по сравнению со случаем, когда действует одна помеха, поскольку в этом случае n_g = f_g - m_g

 

.

 

Отношение правдоподобия принимает следующий вид:

 

 

где

 

 

Величина R (E _c) от входного сигнала, т.е. от входной после­довательности f_g не зависит. Поэтому решение о наличии или отсутствии полезного сигнала можно принимать по величине Q (E _c, φ _c) зависящей от входного сигнала и монотонно связанной с отношением правдоподобия:

 

.

 

Последнее выражение может служить алгоритмом обработки одиночного сигнала известной формы на фоне белого шума, из которого следует, что такая обработка в своей существенной части сводится к линейной обработке - весовому суммированию дискретных значений входного сигнала f_g, причем весовые коэффициенты m_g = m (t_g) определяются прообразом ожидаемого сигнала в анализируемом элемен­те разрешения - его формой или законом модуляции U ₀(t), несущей частотой ω, временем запаздывания t_r, доплеровским сдвигом частоты F _дс, амплитудой E _с и начальной фазой φ _c. Ниже рассматриваются схемы корреляционных обнаружителей одиночного сигнала с различной степенью известности его параметров.