Рис.1.6 Направленный граф электрической цепи для схемы замещения, приведенной на Рис. 1.5
Направленный граф характеризует конфигурацию – геометрический образ схемы. Для аналитического представления графа должны быть пронумерованы узлы, ветви, независимые контуры и выбрано направление обходов этих контуров. В рассматриваемой схеме выбирается балансирующий узел.
Геометрию графа можно записать в алгебраической форме с помощью двух матриц соединений или инциденций.
1.5.2 Первая матрица соединений (инциденций) М или матрица соединений ветвей в узлах
Онапредставляет собой таблицу, строки которой отвечают узлам направленного графа электрической сети, а столбцы — ветвям.
| Узлы без балансирующего (1.1) |
| ветви |
При составлении матрицы М балансирующий узел опускается.
Каждая строка матрицы М отвечает одному узлу, а каждый столбец – одной из ветвей. Элементы матрицы М могут принимать одно из 3-х значений:
+1 – если ветвь j выходит из узла i, т.е. узел i является началом ветви j;
mij = -1 – если ветвь j входит в узел i, т.е. узел i является концом ветви j;
0 – если ветвь j не связана с узлом i.
Первый закон Кирхгофа в матричной форме
Найдем произведение первой матрицы соединений М и столбцевой матрицы токов в ветвях.
| Столбцевая матрица токов в ветвях |
Столбцевая матрица задающих токов
Сопоставив алгебраические суммы токов в строках матрицы произведения, видим, что они равны задающим токам в соответствующих узлах (см. выражения в начале п. 1.5). Первый закон Кирхгофа в матричной форме формулируется так: произведение первой матрицы соединений и матрицы – столбца токов ветвей равно матрице – столбцу задающих токов.
Первый закон Кирхгофа в матричной компактной форме:
. (1.2)
Матрица соединений (инциденций) ребра-пути Н.
Это матрица, строки которой соответствуют ребрам, а столбцы путям от корня графа (базисного узла) к узлам, где подключены нагрузки.
Элементы матрицы H — hij могут принимать два значения: 1 — если ветвь i входит в путь j и 0 — если ветвь i не входит в путь j. Так, для разомкнутой сети, приведенной на Рис 1.7, матрица ребра – пути имеет вид
ветви (ребра) (1.3)
пути
Пути от базисного узла к узлам с нагрузками
| Пути | Соединения вершин | Ветви (ребра) |
| 1- й путь | 0-2 | 1,2 |
| 2 - й путь | 0-3 | 1,3 |
| 3 - й путь | 0-4 |
Матрицу H используют при определении в схеме токораспределения. По известным токам нагрузки в узлах можно рассчитать токи в ветвях, используя выражение
(1.4)
Здесь 
— матрица-столбец токов ветвей.
