Системы линейных однородных уравнений.

Если в каждом уравнении правая часть , такая система называется однородной.

Расширенная матрица содержит столбец, состоящий только из 0, то есть ранг расширенной матриц точно не больше, чем ранг основной! По теореме Кронекера-Капелли получается, что однородная система всегда совместна, то есть существует хотя бы одно решение.

Заметим, что при подстановке всех 0 вместо неизвестных, , все равенства автоматически выполняются, т.е. нулевое решение для такой системы всегда существует. Оно называется тривиальным решением.

 

Тривиальное решние может быть не единственным, возможно, есть ещё какие-то наборы чисел, которые можно подставить в систему. Основной задачей для однородных систем как раз и является поиск ненулевых решений.

Нетривиальные решения есть, например:

решения (1,1), (2,2), и т.д. Любое (С,С) для есть решение.

Здесь ранг равен 1, и 2-я перменная свободная.

А здесь ранг основной матрицы равен 2. , базисный минор фактически заполняет всю основную матрицу, до правого края, в этом случае нет свободных переменных. Решение только тривиальное.

Если решать методом Гаусса, то получим тогда , и отсюда .

После приведения к треугольному виду, последняя неизвестная получится 0, за ней и предпоследняя и т.д.

 

Теорема 1. Однородная система с квадратной основной матрицей имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда основная матрица вырожденная.

 

* А если матрица невырожденная, то решение единственно, но поскольку обязательно существует тривиальное, то оно и есть тривиальное (все нули), других решений нет.

 

Теорема 2. Линейная комбинация решений однородной системы тоже есть решение.

Доказательство. Дано , , тогда .

* Для неоднородных систем такой факт был не верен! Там есть лишь более сложный аналог - теорема о наложении решений. Но идея доказательства похожая: если в той теореме и - нулевые векторы, получим эту теорему.

 

Теорема 3. Сумма решений неоднородной и соответствующей однородной системы есть решение неоднородной системы.

Доказательство. Пусть решение неоднородной системы, - решение соответствующей однородной системы (с той же основной матрицей, но 0 в правой части).

, , тогда .

 

Следствие. Разность двух различных частных решений неоднородной системы есть решение соответствующей однородной системы.

Геометрический смысл. Если взять разность двух радиус-векторов, проведённых к точке какой-либо прямой, не проходящей через начало координат, получится вектор, лежащий на параллельной прямой, проходящей через начало координат.

 

Теорема 4. Пусть дана однородная система с неизвестными, ранг основной матрицы равен . Тогда существует линейно-независимых решений однородной системы, и всякое другое решение есть их линейная комбинация.

Определение. Данная система, состоящая из линейно-независимых решений, называется фундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы уравнений.

Пример. (r=2, n=4).

базисный минор порядка 2, можно обвести в левом углу, поэтому 3-я и 4-я переменная - свободные. Перенесём их через знак равенства. . уже выражено: , подставим это в первое уравнение, чтобы выразить и .

, .

Общее решение: { , }.

Если поочерёдно присвоить значение 1 каждой из свободных переменных (а другая в это время 0) то получим гарантированно 2 линейно-независимых вектора, они не пропорциональны, так как 1 на разных местах.

, получим

, получим .

Эти 2 вектора { , } и есть ФСР. Это частных решений, из которых можно составить любые другие частные решения. Любые их линейные комбинации будут частными решениями однородной системы. В этом примере , .

* Для системы с квадратной матрицей справа были только числа, для системы с прямоугольной матрицей к ним добавляются свободные переменные, и там будут выражения типа . А для однородной системы справа констант нет (они = 0), но туда перенесены свободные переменные. То есть идея решения методом Гаусса во всех этих 3 параграфах одна и та же, но справа разные типы объектов.

 

ЛЕКЦИЯ № 5. 30. 09. 2016