Определённая: 
экв. 
решение (1,1).
Неопределённая: 
Решения: (1,1) или (2,0) или (0,2) или (3,-1) или (4,-2), их бесконечно много.
Фактически 2-е уравнение лишнее, а из 1-го следует 
. Что бы мы ни подставляли вместо 
, найдётся 
. Единственного точного решения как такового здесь нет, их бесконечно много. Запись здесь называется общим решением, а переменная , которую перенесли вправо и можем свободно задавать - свободной переменной.
* Если ранг основной матрицы меньше, чем число неизвестных, т.е. 
то система неопределённая, так как есть столбцы, не входящие в базисный минор, и именно эти неизвестные переносятся вправо.
Геометрический смысл при n=2.
Рассмотрим систему из 2 уравнений и 2 неизвестных: 
Её геометрический смысл. Каждое из уравнений задаёт некоторую прямую в плоскости. Прямые могут:
1. пересекаться в одной точке (решение единственно), в этом случае система совместная и определённая.
2. совпадать (решений бесконечно много), в этом случае система совместная, но неопределённая.
3. быть параллельны (нет решений) - система несовместна.
Методы решения систем с квадратной основной матрицей.
Матричный метод.
, или 
. Слева домножим обратную матрицу:
, то есть 
, то есть 
. Получается, что все 
можно найти так: умножить обратную матрицу на правую часть.
На примере: 
. Матричный вид системы: 
, обратную матрицу для этой матрицы ранее находили, это 
. Тогда 
= 
. Итак, 
, 
.
Метод Крамера.
Пусть А - основная матрица системы линейных уравнений. Если удалить какой-либо i-й столбец основной матрицы и внести на это место правую часть, то получится некая новая квадратная матрица, обозначим её 
. Тогда верны следующие формулы для . 
для каждого i от 1 до n.
Идея доказательства формул Крамера проста и основывается на подробной записи матричного равенства , учитывая структуру обратной матрицы:
тогда 
как видим, алгебраические дополнения здесь именно к элементам 1-го столбца, но умножаются они на 
, то есть, как если бы вместо 1-го столбца была поставлена правая часть системы.
Рассмотрим на примере той же самой системы: .
, 
.
Но эти два способа используются чаще для матриц 2 и 3 порядка, и они очень трудоёмкие, если матрица порядка 4 и больше.
Метод Гаусса.
Метод состоит в преобразовании основной матрицы к треугольному виду. Можно последовательно обнулить элементы ниже углового 
, вычитая из других уравнений 1-е, домноженное на коэффициент 
(для каждой строки разные). Теперь 
будет только в первом уравнении, в других нет. Затем так же точно можем обнулить всё ниже чем 
, вычитая из каждой строки 2-ю с соответствующим коэффициентом. Кстати, при этом нули, уже расположенные слева, не изменятся. Затем обнулим все элементы ниже 
, ниже 
, и так далее. В итоге для основной матрицы системы получится треугольный вид: нули везде ниже главной диагонали. При преобразованиях можно работать с расширенной матрицей, а не системой, чтобы не переписывать каждый раз 
букв «
». Обратите внимание, что правая часть подвергается тем же преобразованиям, что и вся строка, где находится этот .
После преобразований надо восстановить полную запись системы с неизвестными, но в ней уже будет хорошее свойство: чем ниже уравнение, тем меньше переменных, а в последнем вообще одна лишь 
. Это и позволит нам сначала выразить , затем с этой известной информацией подняться в предпоследнее уравнение, и найти
, и так дажее до 1-го уравнения, где найдём .
На примере. 
Преобразования расширенной матрицы:
.
Сначала из 2-й строки вычли 1-ю, а из 3-й удвоенную 1-ю.
На втором этапе, к 3-й прибавили 2-ю.
Система после преобразований:
, из последнего 
= 1, подставляем в предпоследнее, будет 
, то есть =1. Далее, уже известные и подставми в первое уравнение, и получим =1.
Ответ =1, =1, = 1, или 
.