Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


Ёлементы векторной алгебры.




—кал€рное, векторное, смешанное произведение.

—кал€рное произведение хорошо известно из школьного курса.

ј сейчас мы научимс€ с помощью матриц и определителей находить общий перпендикул€р дл€ пары векторов.

¬екторное произведение.

ќпределение. ¬ектор называетс€ векторным произведением векторов , обозначаетс€ , если выполнены 3 услови€: 1) , . 2) ¬екторы образуют правоориентированную тройку, то есть с конца вектора кратчайший поворот от к виден против часовой стрелки. 3) параллелограмма, образованного парой векторов , то есть .    

 

“аблица свойств скал€рного и векторного произведений: сходство и различи€.

 

ћетод нахождени€ векторного произведени€ с помощью определител€: ћожно записать в 1-ю и 2-ю строку исходные два вектора, в третьей строке добавить произвольные обозначени€ осей , и вычислить этот определитель.

= . ћиноры пор€дка 2 вычисл€тс€, эти числа как раз и будут координатами нового вектора, который €вл€етс€ векторным произведением.

 

ѕример. Ќайти векторное произведение векторов (1,1,1) и (1,2,3)

= = . ќтвет (1,-2,1).

“акже можно проверить, что он действительно перпендикул€рен исходным векторам (скал€рно умножить на 1-й или на 2-й вектор, получим 0).

ѕримечание. ќпределитель можно вычисл€ть либо разложением по 3-й строке, либо ранее известными методами, в том числе добавить копии двух первых столбцов справа.

 

—мешанное произведение. ќпределе€тс€ так: .

Ётот объект корректно определЄн и существует: векторное произведение первой пары есть какой-то вектор, и его можно скал€рно умножить на ещЄ один, третий вектор, в итоге получитс€ константа.

—мешанное произведение вычисл€етс€ с помощью определител€ так: .

ќбоснование: ≈сли рассмотреть разложение этого определител€ по третьей строке, то получитс€

, то есть 1-€ координата векторного произведени€ как раз и умножаетс€ на 1-ю координату вектора , 2-€ на 2-ю и т.д. то есть это и есть .

√еометрический смысл: объЄм параллелепипеда, образованного трем€ векторами.

 


√лава 2. —истемы линейных уравнений.

¬ведение, основные методы решени€.

ѕроизвольна€ система

система из m линейных уравнений с m неизвестными.

ѕримечание. Ќе об€зательно все n переменных есть в каждом уравнении, в некоторых какие-то могут быть пропущены, то есть коэффициенты = 0.

”равнени€ здесь называютс€ линейными потому, что все неизвестные именно в первой степени, то есть нигде не возвод€тс€ в квадрат, не умножаютс€ между собой, не извлекаетс€ корень и т.д.

≈сли при этом ещЄ и все , то система называетс€ однородной.

–ешением системы называетс€ такой набор констант , что при подстановке их вместо во всех уравнени€х получатс€ тождества. ћожно представл€ть также и в виде вектора .

ќбычный, матричный и векторный виды записи системы уравнений:

, ,

.

ќсновна€ (ј) и расширенна€ матрица (—).

, .

ќпределение. ≈сли существует хот€ бы одно решение (то есть набор , обращающий в тождества все уравнени€) то система называетс€ совместной, а если решени€ не существует, то несовместной, или противоречивой.

—лово Ђсовместна€ї система означает, что уравнени€ совместны между собой, не противоречат друг другу. ѕримеры:

—овместна€: есть решение (1,1).

Ќесовместна€ если вычесть из 2-го уравнени€ удвоенное первое, получим противоречие: 0=1.

≈сли в правой части 2-го уравнени€ было бы 4, а не 5, то система была бы совместной.

 

 

Ћ≈ ÷»я є 4. 23.09.2016

“еорема  ронекера- апелли о совместности системы уравнений.

—истема линейных уравнений совмстна тогда и только тогда, когда (ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы).

«амечание. ¬ообще, при добавлении нового столбца ранг может или остатьс€ прежним, или увеличитьс€ на 1.

»де€ доказательства. ≈сли вектор (вспомним векторный вид системы) €вл€етс€ линейной комбинацией столбцов матрицы ј, то существуют - коэффициенты, и решение существует, а если он не €вл€етс€ линейной комбинацией столбцов матрицы ј, то не существует, и решени€ нет.

или .

–ассмотрим расширенную матрицу дл€ системы из недавнего примера:

, . ≈сли рассматривать основную матрицу (до черты) там ранг = 1, потому что во 2-й строке только нули. ј если всю расширенную матрицу, то там есть невырожденный минор 2-го пор€дка: . –анги основной и расширенной матриц не совпадают.

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-11-18; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 354 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќачинайте делать все, что вы можете сделать Ц и даже то, о чем можете хот€ бы мечтать. ¬ смелости гений, сила и маги€. © »оганн ¬ольфганг √ете
==> читать все изречени€...

628 - | 591 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.011 с.