Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ќсновные свойства определителей и их геометрический смысл.




1) “ранспонированна€ матрица. ѕри транспонировании определитель не мен€етс€: = .

2) ≈сли ј, ¬ две квадратные матрицы, то .

–ассмотрим доказательство дл€ n=2.

, .

ѕроизведение матриц:

= , еЄ определитель:

=

 

=

полностью вычитаютс€ 1-е и 5-е слагаемое, а также 2-е и 8-е.

= .

¬ то же врем€, произведение определителей равно

= .

“о есть это то же самое выражение.

 

3) ≈сли строка или столбец матрицы состоит из нулей, то .

√еометрический смысл: ≈сли в системе векторов есть 0 - вектор, то объЄм параллелепипеда равен 0.

 

4) ≈сли любую строку (столбец) матрицы умножить коэффициент с, то увеличитс€ в с раз.

Ёто свойство даЄт возможность выносить общий множитель за знак определител€ из какой-либо строки.

√еометрический смысл: ≈сли умножить на коэффициент даже один из векторов, образующих параллелограмм, то площадь параллелограмма умножитс€ на этот коэффициент.

≈сли умножить не один, а оба вектора, то площадь увеличитс€ в раз. ƒл€ 3 векторов в пространстве и параллелепипеда, если умножить каждый вектор на , то объЄм вырастет в раз. ƒл€ матриц получаетс€

—ледствие: 4а) .

5) ≈сли помен€ть местами любые две строки (или два столбца), то сменит знак.

Ёто св€зано с тем, что при смене мест 2 элементов в перестановке мен€етс€ чЄтность: одна инверси€ по€витс€ или наоборот, исчезнет.

6) ≈сли матрица содержит две одинаковых (или пропорциональных) строки или столбца, то .

ƒоказываетс€ из предыдущего свойства: если в матрице две одинаковые строки, то мен€€ их местами, мы изменим знак, но они же одинаковы, поэтому не должен изменитьс€. “огда = , то есть . ƒл€ пропорциональных то же самое, так как можем сначала вынести коэффициент за знак определител€, и строки станут одинаковыми, а тогда .

√еометрический смысл. ≈сли два ребра параллелепипеда коллинеарны, то объЄм 0.

 

7) ≈сли все элементы какой-либо строки представлены в виде сумм двух элементов, то данный определитель равен сумме двух определителей, где в первом из них в этой строке - первые слагаемые, а во втором - вторые (все остальные строки в обоих определител€х без изменени€).

„тобы легче запомнилось, покажем на примере произвольных матриц 2-го пор€дка.

= + .

действительно: = = .

ƒл€ матриц большего пор€дка, аналогично, в любом из n! слагаемых по n элементов, какой-то один окажетс€ суммой двух чисел, в итоге каждое слагаемое распадЄтс€ на два, и в сумме будет 2 n! слагаемых, где одни n! образуют 1-й определитель, а другое n! - второй.

 

8). ≈сли к любой строке прибавить другую строку, домноженную на число, не изменитс€.

≈сли в предыдущем свойстве в роли вторых элементов вз€ты элементы другой строки этой же самой матрицы, домноженные на коэффициент k, то:

= + тогда во 2-м определителе строки пропорциональны, он равен 0. “о есть мы видим, что если к одной строке прибавить строку, кратную какой-то строке из этой же матрицы, определитель не изменитс€.

Ёто важное свойство даЄт возможность преобразовывать и упрощать матрицы в процессе вычислени€ определителей.

«амечание. ќчевидно, что можно не только прибавить, но и отн€ть от строки строку, ведь мы можем домножить на коэффициент .

√еометрический смысл. ≈сли к вектору b прибавить вектор a, умноженный на любой коэффициент, то площадь параллелограмма не изменитс€, основание и высота остались старыми, см. чертЄж:

«десь площадь параллелограмма, образованного векторами a,b така€ же, как дл€ образованного векторами a, b+2a.

»з свойства 8 следует, что строки можно складывать и вычитать, на этом основан метод √аусса приведени€ к треугольной форме.

¬ажно! ќпределитель не мен€етс€ (св-во 8), если умножать строку в уме (в буфере обмена) и затем, уже кратную, прибавл€ть к какой-либо другой. ≈сли же просто умножать строку, котора€ находитс€ в матрице, то определитель умножитс€ на коэффициент (свойство 4). Ёто совершенно разные операции, не надо их путать.

ѕример.

¬ычислить приведением к треугольной форме.

«аметили, что ниже углового элемента (1) число 2. ѕоэтому из 2-й строки вычтем 1-ю, домноженную на 2. “о есть, вычитать надо строку (2 6).

= = = 1.

—ледствие 8 а). ≈сли кака€-либо строка матрицы €вл€етс€ суммой других строк, то .

ƒоказательство: ≈сли треть€ строка есть сумма первой и второй, то вычита€ 1-ю и 2-ю из неЄ, получим строку из нулей.

ѕример (метод √аусса, приведение к треугольной форме).

ѕрименим свойство 8 к вычислению такого определител€: .

ѕостараемс€ обнулить все элементы ниже, чем .

»з 2-й строки вычтем 1-ю строку: = .

“еперь из 3-й вычтем удвоенную 1-ю, будет .

„тобы завершить приведение к треугольному виду, вычтем из 3-й строки удвоенную 2-ю, получитс€ . ј теперь просто найдЄм произведение чисел по диагонали, так как привели к треугольной форме. ќпределитель равен 2.

Ётот метод особено будет нужен в теме Ђсистемы уравненийї, но, как видим, помогает и при вычислении определителей.

 

І 3. ќбратна€ матрица.

ќпределение вырожденной матрицы (), невырожденной матрицы ().

ќпределение обратной матрицы. ѕусть - квадратные матрицы. ≈сли то называетс€ обратной матрицей дл€ матрицы .

ќбозначение: ќбратна€ матрица обозначаетс€ .

 

«амечание. ƒл€ чисел, которые €вл€ютс€ матрицами пор€дка 1, обратный элемент вычисл€етс€ известным образом, например , .

»так, . Ќо оказываетс€, что не дл€ любой квадратной матрицы существует обратна€.

Ћемма. ќбратна€ матрица существует тогда и только тогда, когда ј невырожденна€.

ƒл€ доказательства рассмотрим . ≈сли то , то есть существовало бы такое число, которое при умножении на 0 даЄт результат 1, но это невозможно. ѕолучили противоречие.

‘ормула вычислени€ элементов обратной матрицы: .

јлгоритм нахождени€ .

1. ѕроверить невырожденность с помощью определител€.

2. —оставить матрицу из дополн€ющих миноров Mij.

3. »зменить знаки в шахматном пор€дке, то есть домножить на (-1)i+j, где i,j - номера строки и столбца.

ѕолучатс€ алгебраические дополнени€ Aij.

4. “ранспонировать полученную матрицу.

5. ѕоделить на определитель исходной матрицы.

ѕример. =?

–ешение. . ¬ывод: , существует обратна€ матрица.

ћатрица из миноров: . ћатрица из алг. дополнений: . “ранспонируем еЄ: . ƒелим еЄ на определитель, и записываем ответ: = .

ћожно сделать проверку: = .

ѕример. Ќайти обратную матрицу:

–ешение. 1) . , существует .

2) «апишем матрицу, состо€щую из всех возможных миноров , которых существует 9 штук: = .

3) ћатрица из алгебраических дополнений: .

(т.е. в шахматном пор€дке изменили знаки, там где сумма номеров строки и столбца нечЄтна).

“ранспонируем еЄ: . ƒелим на определитель, равный 2, итог: = .

 

 

Ћ≈ ÷»я є 3. 16.09.2016

І 4. –анг матрицы.

ƒл€ пр€моугольных матриц не существует пон€тие определител€, однако там можно выбирать квадратные подматрицы, и дл€ них определитель вычислить можно. ≈сли задать какие-нибудь k номеров строк и k номеров столбцов, то на пересечени€х, очевидно, получитс€ минор из k2 элементов. ќн может быть вырожденным либо нет. —уществует минор максимального пор€дка, который €вл€етс€ невырожденным. ≈го пор€док и называетс€ рангом матрицы.

 

ќпределение. ѕор€док наибольшего невырожденного минора называетс€ рангом матрицы.

ќбозначаетс€ . ѕримеры:

ћатрица размера ранга 2. . «десь есть невырожденный минор пор€дка 2,

.

ћиноры 3 пор€дка можно рассматривать не все, достаточно только окаймл€ющие, то есть содержащие уже найденный минор меньшего пор€дка.

поэтому ранг не равен 3, а остаЄтс€ равен 2, так как минор 2 пор€дка уже найден.

ћиноров 4 пор€дка в этой матрице нет, так как всего 3 строки. »так, . ÷ветом закрашен базисный минор.

 

–анг пр€моугольной матрицы размера m*n меньше или равен, чем минимальное из чисел m, n. ѕричина: минор более высокого пор€дка в этой матрице просто не существует, ведь размер вписанного квадрата не может превышать ни длину, ни ширину пр€моугольника, в который вписан этот квадрат.

 

ѕример. ћатрица ранга 1. «десь все строки пропорциональны 1-й.

 

ћатрица ј €вл€етс€ матрицей ранга 0 она состоит только из нулей (очевидно, что если в матрице есть хоть один элемент, не равный 0, то он уже €вл€етс€ минором 1 пор€дка, то есть ранг не 0, а уже 1).

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-11-18; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 614 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

“ак просто быть добрым - нужно только представить себ€ на месте другого человека прежде, чем начать его судить. © ћарлен ƒитрих
==> читать все изречени€...

734 - | 563 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.034 с.