Основные свойства определителей и их геометрический смысл.

1) Транспонированная матрица. При транспонировании определитель не меняется: = .

2) Если А, В две квадратные матрицы, то .

Рассмотрим доказательство для n=2.

, .

Произведение матриц:

= , её определитель:

=

 

=

полностью вычитаются 1-е и 5-е слагаемое, а также 2-е и 8-е.

= .

В то же время, произведение определителей равно

= .

То есть это то же самое выражение.

 

3) Если строка или столбец матрицы состоит из нулей, то .

Геометрический смысл: Если в системе векторов есть 0 - вектор, то объём параллелепипеда равен 0.

 

4) Если любую строку (столбец) матрицы умножить коэффициент с, то увеличится в с раз.

Это свойство даёт возможность выносить общий множитель за знак определителя из какой-либо строки.

Геометрический смысл: Если умножить на коэффициент даже один из векторов, образующих параллелограмм, то площадь параллелограмма умножится на этот коэффициент.

Если умножить не один, а оба вектора, то площадь увеличится в раз. Для 3 векторов в пространстве и параллелепипеда, если умножить каждый вектор на , то объём вырастет в раз. Для матриц получается

Следствие: 4а) .

5) Если поменять местами любые две строки (или два столбца), то сменит знак.

Это связано с тем, что при смене мест 2 элементов в перестановке меняется чётность: одна инверсия появится или наоборот, исчезнет.

6) Если матрица содержит две одинаковых (или пропорциональных) строки или столбца, то .

Доказывается из предыдущего свойства: если в матрице две одинаковые строки, то меняя их местами, мы изменим знак, но они же одинаковы, поэтому не должен измениться. Тогда = , то есть . Для пропорциональных то же самое, так как можем сначала вынести коэффициент за знак определителя, и строки станут одинаковыми, а тогда .

Геометрический смысл. Если два ребра параллелепипеда коллинеарны, то объём 0.

 

7) Если все элементы какой-либо строки представлены в виде сумм двух элементов, то данный определитель равен сумме двух определителей, где в первом из них в этой строке - первые слагаемые, а во втором - вторые (все остальные строки в обоих определителях без изменения).

Чтобы легче запомнилось, покажем на примере произвольных матриц 2-го порядка.

= + .

действительно: = = .

Для матриц большего порядка, аналогично, в любом из n! слагаемых по n элементов, какой-то один окажется суммой двух чисел, в итоге каждое слагаемое распадётся на два, и в сумме будет 2 n! слагаемых, где одни n! образуют 1-й определитель, а другое n! - второй.

 

8). Если к любой строке прибавить другую строку, домноженную на число, не изменится.

Если в предыдущем свойстве в роли вторых элементов взяты элементы другой строки этой же самой матрицы, домноженные на коэффициент k, то:

= + тогда во 2-м определителе строки пропорциональны, он равен 0. То есть мы видим, что если к одной строке прибавить строку, кратную какой-то строке из этой же матрицы, определитель не изменится.

Это важное свойство даёт возможность преобразовывать и упрощать матрицы в процессе вычисления определителей.

Замечание. Очевидно, что можно не только прибавить, но и отнять от строки строку, ведь мы можем домножить на коэффициент .

Геометрический смысл. Если к вектору b прибавить вектор a, умноженный на любой коэффициент, то площадь параллелограмма не изменится, основание и высота остались старыми, см. чертёж:

Здесь площадь параллелограмма, образованного векторами a,b такая же, как для образованного векторами a, b+2a.

Из свойства 8 следует, что строки можно складывать и вычитать, на этом основан метод Гаусса приведения к треугольной форме.

Важно! Определитель не меняется (св-во 8), если умножать строку в уме (в буфере обмена) и затем, уже кратную, прибавлять к какой-либо другой. Если же просто умножать строку, которая находится в матрице, то определитель умножится на коэффициент (свойство 4). Это совершенно разные операции, не надо их путать.

Пример.

Вычислить приведением к треугольной форме.

Заметили, что ниже углового элемента (1) число 2. Поэтому из 2-й строки вычтем 1-ю, домноженную на 2. То есть, вычитать надо строку (2 6).

= = = 1.

Следствие 8 а). Если какая-либо строка матрицы является суммой других строк, то .

Доказательство: Если третья строка есть сумма первой и второй, то вычитая 1-ю и 2-ю из неё, получим строку из нулей.

Пример (метод Гаусса, приведение к треугольной форме).

Применим свойство 8 к вычислению такого определителя: .

Постараемся обнулить все элементы ниже, чем .

Из 2-й строки вычтем 1-ю строку: = .

Теперь из 3-й вычтем удвоенную 1-ю, будет .

Чтобы завершить приведение к треугольному виду, вычтем из 3-й строки удвоенную 2-ю, получится . А теперь просто найдём произведение чисел по диагонали, так как привели к треугольной форме. Определитель равен 2.

Этот метод особено будет нужен в теме «системы уравнений», но, как видим, помогает и при вычислении определителей.

 

§ 3. Обратная матрица.

Определение вырожденной матрицы (), невырожденной матрицы ().

Определение обратной матрицы. Пусть - квадратные матрицы. Если то называется обратной матрицей для матрицы .

Обозначение: Обратная матрица обозначается .

 

Замечание. Для чисел, которые являются матрицами порядка 1, обратный элемент вычисляется известным образом, например , .

Итак, . Но оказывается, что не для любой квадратной матрицы существует обратная.

Лемма. Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда А невырожденная.

Для доказательства рассмотрим . Если то , то есть существовало бы такое число, которое при умножении на 0 даёт результат 1, но это невозможно. Получили противоречие.

Формула вычисления элементов обратной матрицы: .

Алгоритм нахождения .

1. Проверить невырожденность с помощью определителя.

2. Составить матрицу из дополняющих миноров M_ij.

3. Изменить знаки в шахматном порядке, то есть домножить на (-1)^i+j, где i,j - номера строки и столбца.

Получатся алгебраические дополнения A_ij.

4. Транспонировать полученную матрицу.

5. Поделить на определитель исходной матрицы.

Пример. =?

Решение. . Вывод: , существует обратная матрица.

Матрица из миноров: . Матрица из алг. дополнений: . Транспонируем её: . Делим её на определитель, и записываем ответ: = .

Можно сделать проверку: = .

Пример. Найти обратную матрицу:

Решение. 1) . , существует .

2) Запишем матрицу, состоящую из всех возможных миноров , которых существует 9 штук: = .

3) Матрица из алгебраических дополнений: .

(т.е. в шахматном порядке изменили знаки, там где сумма номеров строки и столбца нечётна).

Транспонируем её: . Делим на определитель, равный 2, итог: = .

 

 

ЛЕКЦИЯ № 3. 16.09.2016

§ 4. Ранг матрицы.

Для прямоугольных матриц не существует понятие определителя, однако там можно выбирать квадратные подматрицы, и для них определитель вычислить можно. Если задать какие-нибудь k номеров строк и k номеров столбцов, то на пересечениях, очевидно, получится минор из k² элементов. Он может быть вырожденным либо нет. Существует минор максимального порядка, который является невырожденным. Его порядок и называется рангом матрицы.

 

Определение. Порядок наибольшего невырожденного минора называется рангом матрицы.

Обозначается . Примеры:

Матрица размера ранга 2. . Здесь есть невырожденный минор порядка 2,

.

Миноры 3 порядка можно рассматривать не все, достаточно только окаймляющие, то есть содержащие уже найденный минор меньшего порядка.

поэтому ранг не равен 3, а остаётся равен 2, так как минор 2 порядка уже найден.

Миноров 4 порядка в этой матрице нет, так как всего 3 строки. Итак, . Цветом закрашен базисный минор.

 

Ранг прямоугольной матрицы размера m*n меньше или равен, чем минимальное из чисел m, n. Причина: минор более высокого порядка в этой матрице просто не существует, ведь размер вписанного квадрата не может превышать ни длину, ни ширину прямоугольника, в который вписан этот квадрат.

 

Пример. Матрица ранга 1. Здесь все строки пропорциональны 1-й.

 

Матрица А является матрицей ранга 0 она состоит только из нулей (очевидно, что если в матрице есть хоть один элемент, не равный 0, то он уже является минором 1 порядка, то есть ранг не 0, а уже 1).