В процессе доказательства возможны ошибки, возникающие при умышленном или не умышленном нарушении правил. Правила доказательства делятся на три группы в соответствии со структурой доказательства: первая группа образует правила тезиса, вторая группа - правила аргументов и третья группа - правила демонстрации.
Первым необходимым условием правильности доказательства является истинность тезиса по сущности его содержания. Соответственно, условием для опровержения является ложность тезиса.
В логическом строении доказательства тезис играет роль следствия, а аргументы и демонстрация – роль основания. При определении соответствия или связи между тезисом и основанием я люблю пользоваться аналогией со столом. Эту аналогию подсказала мне Дайана Халперн в своей замечательной работе «Психология критического мышления». Тезис – это крышка стола, аргументы (основания) – ножки стола, а демонстрация – это способ расположения и крепления ножек стола к крышке. Основание стола может быть представлено одной, двумя, тремя, четырьмя ножками, а сами ножки могут иметь дополнительное крепление между собой в виде царг.
1). Правила тезиса
а) тезис формулируется четко и ясно. Поскольку тезис представляет собой суждение, то его понятия, входящие в субъект и предикат не должны быть двусмысленными, неясными и бессвязными. Формулирование тезиса предполагает его количественные и качественные характеристики (то, что относится к некоторым, не относится ко всем: «Некоторые студенты не выполнили домашнее задание, следовательно, вся группа остается после занятий для его выполнения»);
б) тезис не должен отождествляться с другим тезисом. Отождествление с другим тезисом называется подменой тезиса и приводит к нарушению закона тождества: мысль тождественна сама себе только в данное время, в данном месте и данном отношении. Если не учитывать время, место и отношение, то может произойти частичная подмена тезиса в сторону изменения количественных характеристик или объема понятия, входящего в тезис.
2). Правила аргументов
а) аргументы должны быть истинными и доказанными основаниями. Из истинности основания всегда следует истинность тезиса (при условии, если демонстрация построена правильно). Из ложности основания тезис может оказаться как ложным, так и истинным;
б) истинность аргументов должна быть обоснована независимо от тезиса. Поскольку тезис еще не доказан, то аргументы, выведенные с его помощью, еще нельзя считать доказанными;
в) аргументы должны быть достаточным основанием для данного тезиса. Это правило основано на законе достаточного основания, согласно которому все существующее имеет достаточное основание для своего существования. Аргументов должно быть ни слишком много, ни слишком мало. Некоторые авторы называют это условие адекватностью основания. Избыточность аргументов запутывает доказательство, а недостаточность заводит доказательство в тупик. Наилучшим принципом в выборе аргументов является правило: лучше меньше, да лучше. Достаточность аргументов следует расценивать не в смысле их количества, а с учетом их весомости. Можно плиту (тезис) поставить на зубочистки (аргументы), но можно и на четыре ножки, расположив их под углами плиты.
3). Правила демонстрации
Демонстрация есть способ связи между тезисом и аргументами. Будучи способом связи, демонстрация должна быть логически безупречна. Это значит, что между тезисом и аргументами должна быть логическая связь по правилам дедукции, индукции и аналогии. Следовательно, правила демонстрации − это все правила формальной логики.
Демонстрация приводит к достоверному обоснованию тезисапри соблюдении структурных правил вывода, относящихся к терминам, количеству, качеству и логическим связям между посылками умозаключения и между тезисом и аргументами.
Виды доказательств
По цели доказательства делятся на: 1) доказательство истинности тезиса и 2) доказательство ложности тезиса. Первое, имеющее целью установление истинности тезиса, называется просто доказательством; второе, имеющее целью установление ложности тезиса, называется опровержением.
Опровержение основано на законе противоречия: не могут быть одновременно истинными мысль и её отрицание. Являясь противоположной стороной доказательства, опровержение направлено на те его стороны, которые являются наиболее слабыми – либо против тезиса, либо против аргументов, либо против демонстрации, в любом их сочетании.
Опровержение − часто применяемый вид доказательства как в обыденной жизни, так и в науке; особенно тогда, когда опровергается исчерпавшая себя или построенная на сомнительном основании теория.
По способу доказательства делятся на: 1) прямые и 2) косвенные.
В прямом доказательстве тезис опирается непосредственно на истинное основание. Схема этого вида доказательства такова:
Если аргументы истинны и логическая связь между аргументами и тезисом правильно выбрана в форме одного из умозаключений, то доказываемый тезис Т – истинный. Иными словами, так как доказываемый тезис необходимо следует из некоторых оснований и так как эти основания истинны, то доказываемый тезис тоже будет истинным.
Правило прямого доказательства следующее: из истинности оснований следует истинность тезиса.
В косвенном доказательстве тезис опирается на суждение, противоречащее тезису, и поэтому исследуется не тезис, а антитезис, условно принимаемый за истинный, и его основания. Эти основания связывают с антитезисом таким образом, что из установления их ложности необходимо следует ложность антитезиса и истинность доказываемого тезиса.
Схема этого вида доказательства такова:
Косвенное доказательство делится на 1) разделительное и 2) апагогическое (греч. apagogos − уводящий, отводящий).
В разделительном доказательстве доказываемый тезис берется как некоторое предположение, которому возможна одна или несколько альтернатив. Доказательство состоит в том, что все альтернативы подвергаются проверке и опровергаются кроме одной, которая и является доказываемым тезисом:
(Т V Т1VТ2) Λ (Т1 VТ2)
Т.
Разделительное доказательство применяется там, где легко достижимо перечисление всех предположений, возможных в данном случае.
В апагогическом доказательстве истинность доказываемого тезиса устанавливается путем опровержения противоречащего ему положения. Поскольку апагогическое доказательство использует отрицание доказываемого тезиса, то оно также называется доказательством от противного.
Апагогическое доказательство состоит из двух стадий. На первой стадии выявляется ложность сделанного в начале предположения об истинности тезиса, противоречащего доказываемому (приведение к нелепости):
АТ → (a Λ b Λ c ) Λ (a Λ b Λ c )
AT.
На второй стадии тезис, предположенный истинным, оказался ложным и в то же время противоречащим по отношению к доказываемому. На основании закона исключенного третьего из ложности антитезиса следует истинность тезиса, что и необходимо было доказать:
(АТ V Т) Λ T
Т
Доказательство состоит в том, что все основания антитезиса в ходе их проверки признаются ложными, а из ложности основания следует ложность антитезиса и, следовательно, истинность тезиса.
Опровержение строится по таким же схемам, что и доказательство. Для того, чтобы опровергнуть какой-либо тезис, надо показать, что из него в сочетании с достоверно истинными аргументами вытекают ложные следствия. А ложность следствия в правильном умозаключении всегда указывает на ложность хотя бы одной из посылок.
Если опровергаемый тезис выражен общим суждением, то для его опровержения достаточно доказать истинность противоречащего ему частного суждения. Но если опровергаемый тезис выражен частным суждением, то для его опровержения необходимо доказать истинность противоречащего ему общего суждения.
Вопросы для самопроверки
1.Какие три группы правил в доказательстве вы знаете?
2.Чем объясняется ясность и четкость в формулировании тезиса?
3.Что такое «подмена тезиса»?
4.Почему истинность аргументов должна быть обоснована независимо от тезиса?
5.Как применить закон достаточного основания к аргументам?
6.Как называется логическая связь между тезисом и аргументами?
7.Как в апагогическом доказательстве устанавливается истинность доказываемого тезиса?
Упражнения
Подберите аргументы и постройте прямое доказательство тезиса.
Пример:
Студента Иванова вызвали в суд для дачи свидетельских показаний.
Аргументами являются: 1) студент Иванов явился свидетелем дорожно-транспортного происшествия; 2) он согласился дать свидетельские показания следователю прокуратуры.
Построим демонстрацию в форме полной индукции: «Если студент Иванов явился свидетелем дорожно-транспортного происшествия и согласился дать свидетельские показания следователю прокуратуры, то он обязан явиться в суд для дачи свидетельских показаний». (а1 V а2) → Т.
1. Буровая является важнейшим элементом нефтегазового промысла. 2). Иванов – житель Ухты. 3). Берегите лес от пожара.
Используя приведенные тезисы, постройте косвенное апагогическое и косвенное разделительное доказательство.
Используя приведенные тезисы постройте прямое и косвенное опровержение:
- Ни один студент не любит каникулы.
- Скворец весной вьёт гнезда в тундре.
- Есть деревья, которые совершенно не имеют коры.
Установите, какие правила были нарушены, и определите логическую ошибку:
- Штанга оказалась не на месте.
- Иванову надо поставить зачет, так как он уезжает на вахту.
- Петров – школьник, так как он учится в школе, а все школьники учатся в школе.
- Польза зимнего купания в проруби – несомненна.
- В группе АИС-205 – хорошие студенты.
- «Фезам» поможет вам.
Глава седьмая. Гипотеза
