Напряженность электрического поля определяется формулой

Введение

В предлагаемое учебное пособие вошли задачи по курсу общей физики (раздел “Электричество и магнетизм”), предназначенные для студентов физико-математических факультетов педагогических вузов. Задачи разделены по темам в соответствии с действующей программой по общей физике для подготовки бакалавров образования по направлениям “физика”, “математика”, “прикладная математика и информатика” и специалистов соответствующего профиля. В сборнике содержатся задачи трех уровней сложности, что упрощает его использование в сочетании с рейтинговой системой оценки знаний. Задачи первого (низшего) уровня сложности являются типовыми, они снабжены подробными решениями и предлагаются для воспроизведения студентам, претендующим на удовлетворительную оценку. Задачи второго и третьего уровней сложности предназначены для самостоятельного решения студентами, претендующими на более высокий рейтинг, требуют, как правило, проработки дополнительной литературы, и творческого подхода. Учебное пособие может быть полезно также учителям, работающим в школах с углубленным изучением физики и учащимся этих школ.

Тема 1

Закон Кулона Напряженность электрического поля

По закону Кулона сила, действующая между двумя заряженными телами, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними, определяется формулой:

где q₁ и q₂ – электрические заряды тел,

r – расстояние между ними,

e – относительная диэлектрическая проницаемость среды,

e₀ – электрическая постоянная, равная в СИ 8,85×10^-12 Ф/м.

Напряженность электрического поля определяется формулой

где F – сила, действующая на заряд q.

Напряженность поля точечного заряда

Напряженность электрического поля от нескольких зарядов находится по правилу геометрических сложений полей.

По теореме Гаусса поток напряженности сквозь любую замкнутую поверхность

где S q – алгебраическая сумма зарядов, находящихся внутри этой поверхности.

При помощи теоремы Гаусса можно найти напряженность электрического поля, образованного различными заряженными телами.

Напряженность поля, образованного заряженной бесконечно длинной нитью

где t – линейная плотность заряда на нити,

а – расстояние от нити.

Если нить имеет конечную длину, то напряженность поля в точке, находящейся на перпендикуляре, восстановленном из середины нити на расстоянии а от нее равна:

где q – угол между направлением нормали к нити и радиус-вектором, проведенным из рассматриваемой точки к концу нити.

Напряженность поля, образованного заряженной бесконечно протяженной плоскостью

где s – поверхностная плотность заряда на плоскости.

Если плоскость представляет собой диск радиусом R, то напряженность поля в точке, находящейся на перпендикуляре, восстановленном из центра диска на расстоянии а от нее,

Напряженность поля, образованного разноименно заряженными бесконечными плоскостями

Напряженность поля, образованного заряженным шаром

где q – заряд шара радиусом R,

r – расстояние от центра шара, причем r>R.

Задача 1

В вершинах правильного шестиугольника расположены три положительных и три отрицательных заряда. Найти напряженность Е электрического поля в центре шестиугольника при различных комбинациях в расположении этих зарядов. Каждый заряд 1,5 нКл, сторона шестиугольника 3 см.

Дано:	Решение: Возможны три варианта расположения зарядов в вершинах шестиугольника. Пусть . Напряженность электрического поля в т. А является векторной суммой напряженностей
Е_рез –?	создаваемых в этой точке положи-

тельными и отрицательными зарядами. Эти напряженности равны по модулю

Рассмотрим случаи:

а) по принципу суперпозиции

(1)

угол между векторами 2 a =120°.

Т.к. векторы и , и , и сонаправлены, то их можно сложить.

(2)

-q₄ +q₂

+q₁ -q₅

-q₆ +q₃

Найдем результирующую напряженность между векторами , она численно равна

Вектор направлен в противоположную сторону и, значит, уравнение (2) приобретает вид

учитывая, что , приходим к выводу, что

Е_рез=0.

б) используя принцип суперпозиции:

(3)

векторы имеют взаимно противоположные направления и одинаковые значения, и уравнение приобретает вид:

Е_рез=Е ₂ +Е ₅ = 2 Е ₂,

(4)

+q₁ -q₅

-q₄ -q₆

+q₂ +q₃

т. к. сонаправлены и имеют равные значения, лежат на одной прямой.

(5)

Подставим (5) в (4)

в) по принципу суперпозиции

(6)

+q₃ -q₄

+q₂ -q₅

+q₁ -q₆

Учитывая, что векторы , и что они численно равны, выражение (6) можно переписать в виде:

Результирующий вектор лежит на (используя сложение правилом параллелограмма), угол между векторами равен 60°. Результирующая напряженность направлена от А к q₅ и равна по модулю

Ответ: напряженность в центре шестиугольника при трех вариантах расположения зарядов равна Е =0; Е =30 кВ/м; Е =60 кВ/м, соответственно.

Задача 2

Два точечных заряда q₁ =7нКл, q₂ =–14.7 нКл расположены на расстоянии r =5 см. Найти напряженность Е электростатического поля в точке, находящейся на расстоянии а =3 см от положительного заряда и b =4 см от отрицательного заряда.

Дано:

Решение: Рассмотрим общий случай при a – неизвестном. Согласно принципу суперпозиции в точке А, напряженность

где

– напряженности полей, создаваемых в этой точке зарядами q₁ и q₂ _, соответственно. Вектор

является диагональю параллелограмма

Е_А =?

со сторонами

Воспользовавшись теоремой косинусов, найдем

(1)

где - модули векторов , соответственно.

, (2)

применив теорему косинусов к треугольнику со сторонами r, a, b, получим

+q a A

b -q

(3)

В нашем случае cos a = 0 и e = 1.

Подставим выражения (2) и (3) в формулу (1) и найдем Е_А

Вычисления:

Ответ: напряженность электростатического поля в точке А равна

Задача 3

Два шарика одинаковых радиусов и массы подвешены на нитях одинаковой длины так, что их поверхности соприкасаются. Какой заряд Q нужно сообщить шарикам, чтобы сила натяжения нитей стала равной Т=98 мН? Расстояние от центра шарика до точки подвеса l =10 см, масса каждого шарика m =5г.

Дано:	Решение: На шарики действуют сила тяжести , сила упругости , сила кулоновского отталкивания , (1) где – заряд, полученный каждым шариком после сообщения им заря-
q –?	да, равного q.

2 a

l a

При равновесии шарика сумма проекций сил на вертикальное и горизонтальное направления равна нулю.

Спроецируем силы на оси координат Ох и Оу

Ох: F_K–F_упрsina=0

Oy: –F_упрcosa+mg=0.

Преобразуем уравнения

F_K = F_упрsina. (2)

mg = F_упрcosa. (3)

По III закону Ньютона сила упругости и сила натяжения нити численно равны.

Из уравнения (3) получаем, что

под Т понимаем F_упр.

Найдем

(4)

Из геометрических соображений видно, что

(5)

Подставим формулы (1), (4), (5) в (2), получаем

Вычисления:

Ответ: чтобы сила натяжения нитей была равна Т нужно сообщить шарикам заряд, который равен 1,1 мкКл.

Задача 4

Два заряженных шарика одинаковых радиусов и массы подвешены на нитях одинаковой длины и опущены в жидкий диэлектрик, плотность которого равна , а диэлектрическая проницаемость равна . Какова должна быть плотность материала шариков, чтобы углы расхождения нитей в воздухе и в диэлектрике были одинаковы?

Дано:	Решение: Рассмотрим шарики, находящиеся в воздухе (e =1). На шарик действует сила тяжести , сила упругости и сила куло-
	новского отталкивания . При равнове-

l a

q r q x

сии шарика суммы проекций сил на вертикальное и горизонтальное направления равны нулю

Найдем проекции векторов сил на Ох и Оу

Ох: F_K–F_упрsina=0 ÞF_K = F_упрsina.	(1)
Oy: –F_упрcosa+mg=0 Þ mg = F_упрcosa.	(2)

Разделим почленно уравнение (1) на (2), получаем уравнение

(3)

Из DАВС видно, что

(4)

Подставим (3) в (4), получим

l a

q r qx

(5)

Рассмотрим шарики, находящиеся в жидком диэлектрике.

При погружении шарика в диэлектрик на него начинает действовать выталкивающая сила Архимеда.

При равновесии шарика сумма проекций сил на вертикальное и горизонтальное направления равна нулю.

Найдем проекции векторов сил на оси Ох и Оу

Ох: F_K–F_упрsina=0 Þ F_K = F_упрsina.	(6)
Oy: –F_упрcosa+mg+F_арх=0 Þ mg– F_арх = F_упрcosa.	(7)

Поделим почленно уравнение (6) на (7), получим

(8)

Подставим в (8) значение F_K и выражение (4)

(9)

F_арх численно равна

(10)

Из (5), (9), (10) имеем

Ответ: плотность материала шарика должна быть получена из формулы

Задача 5

На рисунке АА¢ — заряженная плоскость с поверхностной плотностью заряда 40 мкКл/м² и В — одноименно заряженный шарик с массой 1г и зарядом 1нКл. Какой угол с плоскостью АА¢ образует нить, на которой висит шарик?

Дано:	Решение: На шарик действуют три силы: сила упругости , сила тяжести и сила кулоновского отталкивания . При равновесии шарика суммы проекций сил на горизонтальное и верти-
a –?	кальное направления равны нулю.