Работа внешних сил над электроном – работа сил поля равна

где j₁ – потенциал поля электрона в той точке, где другой электрон обладал кинетической энергией

Если расстояние до указанных точек r и R, то для потенциалов поля в этих точках получим

В нашем случае R ®µ, то j₁ ®0.

С учетом этих выражений для работы сил поля будем иметь

(2)

Подставим (2) в (1), получаем с учетом того, что u ₂ =0:

Вычисления:

Ответ: два электрона, летящие с относительной скоростью u=10⁶ м/с могут сблизиться до расстояния

Задача 11

Два шарика с зарядами q₁ =6,6 нКл и q₂ =13,3 нКл находятся на расстоянии r₁ =40 см. Какую работу нужно совершить, чтобы сблизить их до расстояния r₂ =25 см?

Дано:	Решение: Первый способ Для уменьшения расстояния между зарядами нужно совершить работу А против сил поля А = –А¢, где А¢ – работа сил электростатического поля заряда q1 при перемещении заряда q2 из точки 1 в точку 2 (заряд q1 при этом остается неподвижным). Электростатическое поле потенциально, поэтому его работа равна убыли
А –?	потенциальной энергии заряда q2:

где потенциальная энергия заряда q₂ в точках 1 и 2 соответственно.

Следовательно,

где j₂, и j₁ – потенциалы электростатического поля заряда в точках 2 и 1 соответственно. Учитывая, что

получим

Второй способ

Как и в предыдущем случае, считаем, что заряд q₁ неподвижен, а заряд q₂ приближаем к нему.

При этом будет совершаться работа А против сил поля:

А=–А¢,

где А¢ – работа сил поля.

Так как кулоновская сила изменяется с расстоянием, то

Вычисления:

Ответ: чтобы шарики сблизить до расстояния r₂ =25 см, надо совершить работу А =

Задача 12

Какая работа А совершается при перенесении точечного заряда q =20 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии 1 см от поверхности шара радиусом 1 см с поверхностной плотностью заряда s =10^-5 Кл/м²?

Дано:	Решение: Если заряд сосредоточен в тонком поверхностном слое тела, несущего заряд, то распределение заряда в пространстве можно охарактеризовать с помощью поверхностной плотности (при s =const) где S – площадь поверхности,
А –?	qш – заряд, сосредоточенный на ней.

 

s r R q x

Площадь поверхности шара определяется формулой

S=4pR².

Отсюда

Потенциал на расстоянии R+r от центра шара

При переносе заряда q из точки с потенциалом r в бесконечность работа электрических сил

Такую же работу необходимо совершить против электрических сил при переносе заряда q из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии r от поверхности шара.

Вычисления:

Ответ: работа электрических сил при переносе точечного заряда q из бесконечности в данную точку равна 1,13×10^-4 Дж.

Задача 13

На расстоянии r₁ =4 см от бесконечно длинной заряженной нити находится точечный заряд q =0,66 нКл. Под действием поля заряд приближается к нити на расстояние r₂ =2 см, при этом совершается работа А =50 эрг. Найти линейную плотность заряда на нити.

Дано: q = 0,66×10-9 Кл r 1 = 0,04 м r 2 = 0,02 м А = 5×10-6 Дж e = 1 p = 3,14 e 0 = 8,85×10-12 Ф/м	Решение: Работа, совершаемая силами поля бесконечно длинной заряженной нити, равна но по определению dU=-Edr, подставим это выражение
–?	(1)

r2   q x r1

Напряженность поля, образованного заряженной бесконечно длинной нитью

(2)

где а – расстояние до нити.

Подставим выражение (2) в (1), получаем

Из полученной формулы выражаем t

Вычисления:

Ответ: линейная плотность заряда нити равна

Задача 14

Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора U =90В. Площадь каждой пластины S =60 см² и заряд q =1нКл. На каком расстоянии друг от друга находятся пластины?

Дано: U = 90 В S = 60×10-4 м2 Q = 10-9 Кл e = 1 e 0 = 8,85×10-12 Ф/м	Решение: Внутри конденсатора имеется однородное электрическое поле с напряженностью (1) направленной горизонтально.
d –?	Если заряд сосредоточен в тонком

U s S     +q -q d

поверхностном слое тела, несущего заряд, то распределение заряда в пространстве можно охарактеризовать с помощью поверхностной плотности

при s=const. (2)

Используем то, что напряженность поля, образованного разноименно заряженными параллельными бесконечными плоскостями (поле плоского конденсатора)

(3)

Подставим (3) в (2), получаем

(4)

Так как формулы (1) и (4) являются двумя способами выражения одной и той же величины, то можно приравнять их

Вычисления:

Ответ: расстояние между пластинами конденсатора d =4,8 мм.

Задача 15

В плоском горизонтально расположенном конденсаторе, расстояние между пластинами которого d =1 см, находится заряженная капелька массой m =5×10^-11 г. При отсутствии электрического поля капелька вследствие сопротивления воздуха падает с некоторой постоянной скоростью. Если к пластинам конденсатора приложить разность потенциалов U =600 В, то капелька падает вдвое медленнее. Найти заряд капельки.

Дано: d = 0,01 м m = 5×10-14 кг U = 600 В n 1= 2 n 2 g = 9,8 м/с	Решение: Рассмотрим процесс падения капли в воздухе. На капельку действуют две силы: сила тяжести и сила сопротивления . При движении капли с постоянной скоростью сумма проекций на вертикальное и горизон-
q –?	тальное направление равна нулю, т. к. а =0.

 

y

Найдем проекции векторов сил на ось Оу:

F_сопр=mg. (1)

Используя формулу Стокса, выразим F_сопр:

(2)

Подставив (2) в (1), получаем

(3)

y -qn U q d +qn

Рассмотрим процесс падения капли в однородном электрическом поле плоского конденсатора.

На капельку действуют три силы: сила тяжести , сила сопротивления и сила электрического взаимодействия При движении капли с постоянной скоростью сумма проекций на вертикальное и горизонтальное направления равны нулю, т. к. а =0.

Спроецируем векторы сил на ось Оу:

F_сопр=mg–F_эл. (4)

Используя формулу Стокса, выразим F_сопр

По определению

F_эл=Eq.

Подставим полученные формулы в (4), получаем

(5)

Почленно разделив уравнения (3) и (5), получаем

Отсюда выражаем заряд капли

Внутри конденсатора имеется однородное электрическое поле с напряженностью

Тогда

Вычисления:

Ответ: заряд капельки q =4,1×10^-18 Кл.

Задача 16

Между двумя вертикальными пластинами на одинаковом расстоянии от них падает пылинка. Вследствие сопротивления воздуха скорость падения пылинки постоянна и равна v =2 см/с. Через какое время после подачи на пластины разности потенциалов U =3 кВ пылинка достигнет одной из пластин? Какое расстояние l по вертикали пылинка пролетит до попадания на пластину? Расстояние между пластинами d =2 см, масса пылинки m =2×10^-9 г, ее заряд q =6,5×10^-17 Кл.

Дано:	Решение: а) В отсутствии электрического поля на пылинку действуют две силы: сила тяжести и сила сопротивления . При движении капли с постоянной скоростью сумма проекций на вертикальное и горизонтальное направления равна нулю, т. к. а =0.
t –? l –?

d/2   у

Найдем проекции векторов сил на ось Оу:

F_сопр=mg. (1)

Используя формулу Стокса, выразим F_сопр:

(2)

Подставив (2) в (1), получаем

(3)

d/2 + q - q x l у

б) Рассмотрим силы, действующие на пылинку в электрическом поле заряженного конденсатора. При наличии поля на пылинку действует еще и горизонтальная сила F=Eq. Под действием этой силы пылинка получит ускорение, но вследствие сопротивления воздуха в горизонтальном направлении также установится движение с некоторой постоянной скоростью v₂, причем

(4)

Разделим почленно выражения (4) и (3), получаем

(5)

Напряженность электрического поля в плоском конденсаторе

(6)

Подставляя (5) в (4) получаем

Пылинка пролетает расстояние за время t со скоростью v₂, т. е.

Отсюда найдем время t

Расстояние l пылинка пролетит со скоростью v₁ за время t, т. е.

L = v₁t.

Вычисления:

l =2×10^-2×1 = 2(см).

Ответ: через 1 с после подачи на пластины разности потенциалов U =3000 В пылинка достигнет одной из пластин. За это время она пролетит по вертикали 2 см.

Задача 17

Между двумя вертикальными пластинами, находящимися на расстоянии 1 см друг от друга, на нити висит заряженный шарик массой 0,1 г. После того, как на пластины была подана разность потенциалов 1000 В, нить с шариком отклонилась на угол 10°. Найти заряд шарика.

Дано:	Решение: На шарик действуют три силы: сила тяжести , сила упругости нити , сила электростатического взаимодействия . При равновесии шарика сумма проекций на горизонтальное и вертикальное направления равна нулю
q –?	Найдем проекции векторов на оси Ox и Оу

(1)

(2)

U   a х +q -q y

Разделим почленно уравнение (1) на (2), получаем

(3)

По определению

И, учитывая то, что внутри конденсатора имеется однородное электрическое поле с напряженностью

получим из (3)

Вычисления:

Ответ: заряд шарика равен

Задача 18

Электрон с некоторой начальной скоростью v₀ влетает в плоский, горизонтально расположенный конденсатор параллельно пластинам на равном расстоянии от них. К пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U =300 В, расстояние между пластинами d =2 см, длина конденсатора l =10 см. Какова должна быть предельная начальная скорость электрона v₀, чтобы электрон не вылетел из конденсатора. Решить эту же задачу для альфа-частицы.

Дано: U = 300 В d = 0,02 м	Решение: Электрон в плоском конденсаторе будет двигаться по параболе, подобно горизонтально брошенному телу в поле силы тяжести. Действительно, на электрон в конденсаторе действует постоянная сила F=eE, под действием которой он получит ускорение по второму закону Ньютона
	и, пролетая длину l конденсатора за время

-q   U d y   l у

отклонится на расстояние

т. к. v₀ вдоль направления оси Оу была равна нулю.

Чтобы электрон не вылетел из конденсатора, надо, чтобы

Отсюда

внутри конденсатора имеется однородное поле с напряженностью

отсюда

Вычисления:

Ответ: чтобы электрон и альфа-частица не вылетели из конденсатора, их предельная скорость должна быть и соответственно.

Задача 19

Протон и альфа-частица с одинаковой скоростью влетают в плоский конденсатор параллельно пластинам. Во сколько раз отклонение протона полем конденсатора будет больше отклонения альфа-частицы?

Дано: n 1= n 2 = n e = 1	Решение: Рассмотрим движение частицы в поле заряженного конденсатора. Частица в плоском конденсаторе будет двигаться по параболе. На нее действует постоянная сила , под действием которой она получит ускорение по второму закону Ньютона
	и пролетая длину l конденсатора за время

отклонится на расстояние

-q   U d d y   l +q у

Найдем соотношение

вследствие того, что

Ответ: отклонение протона полем плоского конденсатора в два раза больше отклонения альфа-частицы в этом же поле плоского конденсатора.

Задача 20

Пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов U =300В при прохождении через незаряженный плоский горизонтально расположенный конденсатор дает светящееся пятно на флуоресцирующем экране, расположенном на расстоянии l₁ =12 см от конца конденсатора. При зарядке конденсатора пятно на экране смещается на расстояние у =3 см. Расстояние между пластинами конденсатора d =1,4 см, длина конденсатора l =6 см. Найти разность потенциалов U₁, приложенную к пластинам конденсатора.

Дано:	Решение: Движение электрона в однородном поле конденсатора происходит по параболе, и его можно рассматривать как результат двух прямолинейных перемещений: равномерного со скоростью v0 в горизонтальном направлении и
U1 –?	равноускоренного (без начальной скорости) в

вертикальном направлении с ускорением .

Если длина конденсатора l и расстояние между пластинами d, то проекция перемещения электрона за время прохождения поля конденсатора на эти направления равны соответственно:

Отсюда

- q d/2 y1 +q

(*)

значит

(1)

Найдем ₀.

Если ускоряющее поле совершает над частицей массой m и зарядом q работу

A=qU,

то частица приобретает кинетическую энергию

Согласно принципу сохранения и превращения энергии,

откуда

(2)

Найдем ускорение а.

Сила, сообщающая электрону ускорение , по второму закону Ньютона равна

В задачах этого типа уравнение второго закона необходимо представить в развернутом виде, выразив силу, действующую на заряженную частицу, через характеристики поля.

Поскольку

где Е – напряженность поля между пластинами конденсатора, то

Тогда основное уравнение динамики можно записать в скалярной форме

(3)

Подставим (3) и (2) в (1), получаем

Рассмотрим движение электрона вне поля (т.е. найдем у₂).

Пусть t₂ – время движения электрона от края конденсатора до экрана (т.е. l₁). Скорость по оси Ox, которую приобрел электрон на границе двух областей, будет являться игрековой составляющей результирующей скорости с которой двигается электрон, она равна

(4)

Воспользуемся принципом независимости движений Галилея:

по оси Ox смещение: x=v_x×t₂,

по оси Оу смещение: y=v_y1×t₂,

или

Отсюда

(5)

Подставим в (5) выражение (4), (*), (3), (2), получаем:

По условию

т. е.

Вычисления:

Ответ: разность потенциалов, приложенная к пластинам конденсатора равна U =28 В.

Тема 3

Электроемкость

Потенциал уединенного проводника и его заряд связаны соотношением

где С – емкость уединенного проводника.

Емкость плоского конденсатора

где S – площадь каждой пластины конденсатора,

d – расстояние между пластинами.

Емкость сферического конденсатора

где r и R – радиусы внутренней и внешней сфер. В частном случае, когда R=¥,

- емкость уединенного шара.

Емкость цилиндрического конденсатора

где L – высота коаксиальных цилиндров,

r и R – радиусы внутреннего и внешнего цилиндров.

Емкость системы конденсаторов:

при параллельном соединении конденсаторов,

при последовательном соединении конденсаторов.

Энергия уединенного заряженного проводника может быть найдена по одной из следующих формул

В случае плоского конденсатора энергия

где S – площадь каждой пластины конденсатора,

s – поверхностная плотность заряда на пластинах,

U – разность потенциалов между пластинами,

d – расстояние между ними.

Величина

называется объемной плотностью энергии.