Задачи для контрольной работы 1

Задача 1. Определить силы в стержнях 1,2,3,4 фермы аналитическим способом. Графическим способом - только в стержнях 1,2. Данные для задачи своего варианта взять из табл.1 и схемы на рис.11.

Задача 2. Определить опорные реакции фермы и силы в стержнях 4,5,6 способом сечений. Данные своего варианта взять из задачи 1.

Задача 3. Определить опорные реакции двухопорных балок. Данные для задачи взять из таблицы 2 и схемы на рисунке 12 согласно своему варианту.

Задача 4. Определить опорные реакции консольных балок. Данные для задачи взять из таблицы 3 и схемы на рисунке 13 согласно своему варианту.

Задача 5. Определить положение центра тяжести плоских фигур геометрической формы и сечений, составленных из прокатных профилей. Данные для задачи своего варианта взять из таблицы 4 и рисунка 14.

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

Рис. 14

Таблица 1

Схема на рис. 11	Вариант	F₁	F₂	h₁	h₂
кН	м
I				2,5 3,5	- - - -	2,5 2,5
II				0,5 0,7 1,0		2,0 2,0 2,0
III				0,5 0,7 1,0	2,5 2,5	2,5 2,5 2,0
IV				2,0 2,5 3,0	- - -	2,5 2,0 3,5
V				1,0 1,5 1,2	2,5 2,5 2,0	2,5 3,0 3,5
VI				1,2 1,5 0,5	2,0 2,5 2,0	2,5 3,0 2,0
VII				1,2 1,0 9,7	2,5 2,5 3,0	3,0 2,0 2,5
VIII				2,5 2,0 3,0	- - -	3,5 2,0 2,5
IX				1,5 1,2 1,0	3,0 2,5 2,0	3,5 3,0 3,0
X				0,5 0,8 1,0	3,0 2,5 2,5	3,5 3,0 3,5

Таблица 2

Схема на рис. 12	Вариант	q	F	М	а₁	а₂	а₃	а₄
кН/м	кН	кНм	м
I					0,7 1,2 0,4 0,2	0,8 0,5 1,4 0,4	0,4 1,0 0,6 0,6	0,6 0,4 0,8 0,2
II					1,0 0,8 1,4	1,2 1,0 1,2	0,8 1,6 0,8	1,2 0,6 1,0
III					1,2 0,6 1,4	0,8 1,4 1,0	1,2 1,0 0,8	0,8 1,2 0,6
IV					0,8 1,2 0,6	1,4 0,8 2,0	1,2 1,0 1,0	0,8 1,0 0,8
V					1,0 0,8 1,2	1,2 1,0 1,2	0,8 1,2 1,0	0,6 0,4 0,8
VI					0,6 0,6 0,8	1,4 2,0 1,6	1,2 1,0 1,0	1,0 0,8 0,6
VII					1,0 1,2 1,0	1,2 0,8 0,6	1,0 1,4 1,4	0,8 0,6 1,0
VIII					0,8 1,2 0,8	1,4 1,6 1,8	1,6 1,0 1,2	0,6 0,8 1,0
IX					1,0 1,2 1,0	1,8 1,6 1,4	1,2 1,0 1,6	0,8 0,6 1,2
X					0,8 1,2 1,4	1,2 0,8 1,6	1,8 1,8 1,0	1,0 1,2 0,8

Таблица 3

Схема на рис. 13	Вариант	q	F₁	F₂	М	а₁	а₂	а₃
кН/м	кН	кН м	м
I						1,1 1,4 1,4 1,6	1,4 1,4 1,4 1,1	1,5 1,2 1,2 1,3
II						1,2 1,4 2,0	0,8 1,6 1,2	2,0 1,0 0,8
III						1,4 1,0 1,5	1,0 1,2 1,2	1,6 1,8 1,3
IV						1,0 0,6 1,2	1,1 0,8 0,6	0,6 1,2 1,0
V						1,0 0,8 0,6	1,4 1,2 0,8	0,6 0,4 1,2
VI						1,2 0,6 1,2	1,4 0,8 0,4	0,8 1,0 0,8
VII					1,0 1,2 1,0	1,2 0,8 0,6	1,0 1,4 1,4	0,8 0,6 1,0
VIII						1,2 1,0 1,2	1,0 0,6 0,6	0,8 1,2 0,8
IX						0,4 1,2 1,0	0,8 1,0 0,6	1,2 0,6 1,2
X						1,2 0,8 1,2	1,0 1,2 1,0	0,8 0,6 1,0

Таблица 4.

Схема на рис. 14	Вариант	а	b	h₁	h₂	h₃	Двутавр N₀	Швеллер N₀	Уголок N₀	Полоса, мм
cм
I						- - - -			14/9 12,5/9 11/7 8/5	220х14 220х12 180х14 150х10
II									7/4,5 8/5 8/5	80х6 100х8 160х10
III									4,5	100/8 120х8 160х10
IV									14/9 8/5 9/5	300х14 240х12 220х12
V						- - -			14/9 10/6,3 7/4,5	250х12 220х12 200х12
VI									10/6,3 12,5/8 10/6,3	220х14 200х12 160х12
VII						- - -			7,5	240х14 240х10220х14
VIII						- - -			6,4/4 7/4,5 8/5	- - -
IX						- - -			10/6,3 11/7 8/5	220х10 200х10 160х10
X									4,5	220х10 100х8 120х8

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 2

Решению задач данной контрольной работы (за исключением задачи 1) должно предшествовать изучение основ расчета по предельным состояниям. В расчет по предельному состоянию единый коэффициент запаса заменен с системой из нескольких коэффициентов, раздельно учитывающих условия возведения и работы конструкций, изменчивость нагрузок, изменчивость прочностных характеристик материалов.

Рассмотрим некоторые вопросы, связанные с расчетом по несущей способности.

Основными параметрами сопротивления материалов силовым воздействием являются нормативные сопротивления Rⁿ. За нормативное сопротивление пластичного материала принимают предел текучести, для хрупкого - предел прочности (их наименьшее значение по ГОСТу). Возможные отклонения сопротивлений материалов в неблагоприятную сторону от нормативных значений учитывается коэффициентом надежности γ _m по материалу. Значение его в расчетах по несущей способности принимается не менее 1,1.

Отношение Rⁿ/ γ_m = R называется расчетным сопротивлением. Оно и принимается при расчете конструкций.

Основными характеристиками нагрузок являются их нормативные величины (Fⁿ; qⁿ и другие). Возможны отклонения нагрузок в неблагоприятную сторону от их нормативных значений вследствие изменчивости нагрузок или отступлений от условий нормальной эксплуатации учитываются коэффициентом надежности по нагрузке γ_f, устанавливаемыми с учетом назначения зданий и сооружений и условия их эксплуатации.

В расчетах по несущей способности принимают расчетные нагрузки, получаемые путем умножения их нормативных значений на коэффициента надежности по нагрузке (F_p = Fⁿ _∙ γ_f; q_p = qⁿ _∙ γ_f).

Особенности действительной работы конструкций, имеющие систематический характер, но не отражаемые в расчетах прямым путем, учитываются в необходимых случаях коэффициентами условий работы γ_c_.

Коэффициент условий работы учитывает влияние температуры, влажности и агрессивности среды, длительности воздействия и т.д; приближенности расчетных схем и принятых в расчете предпосылок; перераспределение силовых факторов и видов нагружения.

Задача 1. Прежде, чем приступить к решению задачи 1, следует изучить тему 2.2. Цель задачи: а) определить продольную силу и нормальные напряжения в сечении ступенчатого бруса(стержня) при действии на него нескольких внешних сил; б) построить эпюры N и,т.е графики изменение продольной силы N и нормального напряжения по длине бруса.

Рис. 15

Условие задачи. По оси стального ступенчатого бруса(рис.15,а) приложены силы F₁ и F₂, значения которых, а также площади поперечных сечений и длины участков указаны на рисунке. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений и определить полное удлинение стержня. Модуль продольной упругости материала стержня Е= 2 ∙10⁵ МПа.

Решение. Верхний конец стержня (рис.15, a) жестко заделан. Нижний конец свободен. Прежде чем приступить к определению внутренних сил, разбиваем стержень на отдельные участки начиная со свободного конца. Границами участка являются сечения, в которых приложены внешние силы или в которых изменяются размеры поперечного сечения стержня. Рассмотрим брус по высоте. Первый участок АВ от точки приложения силы F₁, т.е. от нижнего торца бруса до сечения, в котором происходит изменение его размеров. Второй участок ВС до сечения, в котором приложена сила F₂. Третий участок СD от места приложения силы F₂ до заделки.

Пользуясь методом сечений, определяем значение внутренних продольных сил в сечениях стержня. Поскольку нижний конец не закреплен, удобнее начинать именно с него, не определяя реакции заделки стержня.

Проводим сечение 1- 1 в пределах первого участка. Необходимо представить сечение 1-1 как бы скользящим, что позволяет просматривать участок на высоте стержня.

Мысленно отбросим верхнюю часть до сечения 1-1 (рис.15,б) и, рассматривая оставшуюся нижнюю часть в состоянии равновесия, составим уравнение проекций сил на ось Y: N₁ – F₂ = 0, откуда N₁= F₁ = =150 кН = 0,15 МН.

Продольная сила положительна, следовательно, на участке АВ имеет место растяжение.

Проводим сечение - на участке ВС стержня и отбросим верхнюю часть (рис.15, в). По аналогии с предыдущим записываем уравнение равновесия

N₂ – F₁ = 0 и находим из него N₂ = 150 кН = 0,15 МН. Участок ВС также растянут.

Проводим сечение - на участке СD и, отбрасывая верхнюю часть стержня (рис.15, г), запишем уравнение равновесия нижней части: N₃ + F₂ –F₁ = 0,

отсюда N₃= F₁ – F₂ = 150 -200 = -50 кН = -0,05МН.

Продольная сил отрицательна, и, следовательно, третий участок стержня сжат.

Зная продольную силу на каждом из трех участков, определим значения нормальных напряжений, имея в виду, что А₁=18 см² = 0,0018м²;

А₂ = 12 см² = 0,0012 м²

(растяжение);

(растяжение);

(сжатие)

По найденным значениям N и s строим их эпюры (рис.15,д, е.).Для этого проводим две прямые (базовые линии), параллельные оси стержня. Каждой точке этой прямой соответствует определенное сечение стержня. Считая прямые за нулевые линии, откладываем вправо и влево от них соответственно положительные и отрицательные значения N и s. Знаки на эпюрах ставятся обязательно. Подписываем значение отложенных ординат. Эпюры штрихуют линиями, перпендикулярными нулевой линии. Длина штрихов выражает значение той или другой величины в соответствующем сечении стержня бруса.

Определяем полное удлинение стержня

∆l = ∆l₁ + ∆l₂ + ∆l₃ =

Подставив числовые значения, получим

∆l =

Задача 2. Цель задачи - научить подбирать сечение элементов конструкции, работающей на осевое растяжение или сжатие.

Условие задачи. Для стержней 1 и 2 фермы, рассмотренной в первой задаче первой контрольной работы, подобрать сечение из равнополочной уголковой стали, принимая Rст3 = 2 ∙ 10 МПа; γ_c = 0,9.

Решение. Воспользуемся формулой, характеризующей работу конструкции при осевом растяжении (сжатии);

N < γ_c A ∙ R,

откуда определяем требуемую площадь

где N - расчетная сила, возникающая в рассматриваемом элементе. Для простоты расчетов примем заданную нагрузку за расчетную и силы, найденные в задаче 1 контрольной работы 1, также будут расчетными N₁=16 кН = 0,016МН, N₂ =

= 19,8 кН = 0,0198 МН. Определение расчетных нагрузок рассмотрено в последующих задачах.

Определяем требуемую площадь сечения для стержня 1.

Определяем требуемую площадь для стержня 2.

По найденным А₁ и А₂ в графе "Площадь сечения" таблицы сортамента (см.приложение 1) подбираем наиболее близкое значение площади, а следовательно, и номер профиля. Принимаем для стержня1 равнополочный уголок 20х20х3 с площадью сечения А = 1,13 см², для стержня 2 - точно такой же.

Задача 3. Цель задачи - проверка степени усвоения понятия геометрических характеристик поперечного сечения при изгибе. Перед решением задачи следует повторить из теоретической механики учебный материал, касающийся определения центра тяжести сечений, составленных их простых геометрических фигур и сечений, составленных из прокатных профилей, определение статического момента площади сечения относительно произвольных осей координат.

Обращается внимание учащихся на различие геометрических характеристик поперечного сечения бруса при его растяжении (сжатии) и при изгибе. При растяжении (сжатии) площадь поперечного сечения бруса, являющаяся его геометрической характеристикой, определяет сопротивление элементов растяжению (сжатию). Объясняется это тем, что при осевом растяжении или сжатии нормальные напряжения в сечениях центрально растянутого (сжатого) бруса распределяются равномерно. При неравномерном распределении напряжений по сечению бруса или балки, например при изгибе, на их деформирование влияет не площадь поперечного сечения, а его форма и, кроме того, положение осей поперечного сечения к направлению действия внешних сил.

Поэтому при расчете балок на изгиб в сопротивлении материалов возникает необходимость принять геометрические характеристики поперечного сечения элемента, называемые осевыми моментами инерции Iх или Iy.

Порядок решения задач на определение момента инерции сечения плоских фигур следующий:

1. Разбить данную фигуру на простые составные части (прямоугольники, круги и т.д.). Если в состав фигуры входит стандартный прокатный профиль, то последний не разбивается на части; положение его центра тяжести и площадь определяются по таблицам сортамента (см.приложения). Простыми элементами в этом случае будут: двутавр, швеллер, уголки, полоса. Если фигура имеет отверстие, то площади и моменты инерции этих отверстий считают отрицательными.

2. Определить центр тяжести всей фигуры.

3. Через найденный центр тяжести сечения провести главные центральные оси. Для фигур, имеющих оси симметрии, главные оси совпадают с осями симметрии.

4. Через центра тяжести простых фигур провести собственные центральные оси инерции.

5. Определить расстояние между собственными главными осями каждой простой фигуры и главными центральными осями всего сечения. Нанести эти расстояния а на чертеж.

6. Определить моменты инерции составных частей относительно собственных осей I ⁰х, I ⁰y.

7. Определить момент инерции сечения относительно главных центральных осей, используя формулу перехода на центральные оси:

I = I ⁰ + а ² ∙ А

Условие задачи. Найти главные центральные моменты инерции сечения, составленного из профилей стандартного проката. Исходные данный взять из примера б) контрольной работы 1 задачи 5 (б). Центр тяжести сечения должен быть найден и нанесен на чертеж сечения. Таким образом решение задачи 3 ведем с пункта 3 выше приведенного описания.

Решение. В составном сечении (рис.16) через найденный центр тяжести С проводим главные центральные оси инерции Х и Y. Ось Х совмещена с осью симметрии сечения. Проводим собственные центральные оси инерции Y⁰₁, Y⁰₂, Y⁰₃, Y⁰₄, Х⁰₃, Х⁰₄ каждой из составных частей.

Определим расстояние между собственными и главными центральными осями инерции, используя абсциссы центров тяжести частей сечения, найденные при определении положения центра тяжести всего сечения (см.рис.10):

а₁ = х₁ – х_c = 20 - 9,04 = 10,94 см;

а₂ = х_с –х₂ = 9,04 - 2,07 = 6,97см;

а₃ = х_с +х₃ = 9,04 + 2,65 = 11,69 см;

а₄ = х₄ - х_с = 10 - 9,04 = 0,96 см.

;

а₆= у₃ = 1,17см.

Рис. 16

Выпишем из таблиц сортамента(см. приложения 1-4) моменты инерции I ⁰ х_i и I ⁰y_i прокатных профилей относительно собственных осей и их площади: двутавр N 20 I ⁰x₁ =1840 cм⁴; I ⁰y₁ =115 см⁴; А₁= 26,8 см²;

швеллер N 20 I ⁰x₂ =1520 см⁴; I ⁰y₂ =113 см ⁴; А₂=23,4 см ²; уголок 80х50х6

I ⁰x₃ =14,8 ² см ⁴; I ⁰y₃ =49 см ⁴; А₃ =7,55 см ².

Для уголка значения моментов инерции Ix и Iy поменялись местами, так как ориентация уголка(см. рис.16) не совпадает с его ориентацией в ГОСТе. При пользовании таблицами ГОСТов необходимо внимательно следить за правильностью выбора требуемых характеристик, ни в коем случае не основываясь на формальном совпадении индексов; полоса 12х200 I ⁰x₄ = b ∙ h³ /12 = 20 ∙ 1,2³ / 12 =

= 2, 88 см ⁴; I ⁰y₄ = h ∙ b ³ /12 = 1,2 ∙ 20 ³ /12 =800 см ⁴; А₄ =24см ².

Определяем главный центральный момент инерции составного сечения относительно оси Х:

Ix =I ^I x + I^II x + 2 ∙ I ^III x +2 ∙I ^IV x = I ⁰ x₁ + I ⁰ x₂ + 2 (I ⁰ x₃ + а ²₆ А₃) + 2 (I ⁰ x₄ +

+ а²₅ А₄)= 1840 + 1520 + 2 (14,8 + 1,17² ∙ 7.55) + 2 (2,88 +10,6 24) = 8895 см⁴.

определяем главный центральный момент инерции составного сечения относительно оси Y:

Iy = I ^I y + I ^II y +2∙ I ^III y +2 ∙I ^IV y = (I ⁰ y₁ +а²₁ А₁) + (I ⁰y₂+а²₂ А₂)+2 (I ⁰ y₃ +

+ а²₂ А₃)+ 2 (I ⁰ y₄ + а²₄ А₄)=115+10,96 ² ∙ 26,8 + 113 + 6,97 ² ∙23,4+2 (49+11,69² ∙ ∙7,55) + 2 (800+0,96 ² ∙24) = 8390 см ⁴.