Подсоединенных к одному узлу

Во все ветви электрической цепи, подсоединенные к одному узлу (рис. 2.101), можно включить одинаковые источники напряжения, ЭДС которых равна по величине и направлена к узлу, либо от узла. Подобное включение является эквивалентным, так как в исходной схеме токораспределение остается прежним.

 

Рисунок 2.101 – Узел электрической цепи

 

Справедливость такого включения следует из второго закона Кирхгофа, согласно которому, при обходе контура, узел встречается только один раз.

Подобное преобразование рационально проводить для электрических схем, у которых имеются ветви только с одним источником напряжения. Рассмотрим указанное преобразование на примере электрической цепи, изображенной на рисунке 2.102 а.

В первую, вторую и четвертую ветви (рис. 2.102 б) включены источники напряжения по величине равные ЭДС и направлены от узла.

 

Рисунок 2.102 – Преобразование электрической цепи

 

Так как в четвертой ветви включены источники напряжения равные по величине и противоположные по направлению, то потенциалы узлов и равны. В результате схема имеет вид, представленный на рисунке 2.103.

Рисунок 2.103 – Преобразованная электрическая цепь

Таким образом, подобное преобразование позволяет уменьшить количество узлов в расчетной схеме.

 

Пример 2.26. Рассмотрим преобразование электрических цепей, в которых источники напряжения к одному узлу, на примере электрической цепи, приведенной рисунке 2.104, параметры которой Е₁ = 20 В, Е₂ = 15 В, r₃ = 50 Ом, r₄ = 150 Ом, r₅ = 200 Ом, r₆ = 100 Ом.

 

Рисунок 2.104 –Электрическая цепь постоянного тока

 

1. Осуществляем предварительный анализ схемы. Количество ветвей – , количество узлов – .

Первая и вторая ветви содержат только источники напряжения с ЭДС и соответственно.

При нахождении токов в ветвях, например, методом непосредственного применения законов Кирхгофа, необходимо составить систему уравнений из шести неизвестных токов. При нахождении токов в ветвях, например, методом контурных токов, необходимо составить систему уравнений из трех неизвестных контурных токов. Нахождение токов в ветвях, методом узловых потенциалов, невозможно, т.к. проводимости первой и второй ветви равны (отсутствуют сопротивления r₁ и r₂).

2. Используя, свойство подключения источников напряжения в ветви, подсоединенные к одному узлу, преобразуем электрическую цепь, приведенную на рисунке 2.104.

В первую, пятую и шестую ветви (рис. 2.105) включены источники напряжения по величине равные ЭДС и направлены к узлу. Во вторую, четвертую и шестую ветви (рис. 2.105) включены источники напряжения по величине равные ЭДС и направлены от узла.

 

 

Рисунок 2.105 – Преобразование электрической цепи постоянного тока

 

Так как в первой и второй ветвях включены источники напряжения равные по величине и противоположные по направлению, то потенциалы узлов и , и соответственно равны. В результате схема имеет вид, представленный на рисунке 2.106.

Рисунок 2.106 – Преобразованная электрическая цепь

Таким образом, количество узлов в расчетной схеме уменьшилось до двух.

3. Рассчитываем токи в преобразованной электрической цепи постоянного тока.

3.1. Осуществляем предварительный анализ схемы.

Количество ветвей – , количество узлов – .

3.2. Рассчитываем токи в ветвях методом узловых потенциалов.

Потенциал первого узла принимаем равным нулю: . Следовательно, необходимо определить потенциал .

3.2.1. Составляем уравнение для определения потенциала :

.

3.2.1.1. Подставляем числовые значения и находим потенциал .

3.2.1.2. Сумма проводимостей ветвей, подключенных к соответствующим узлам:

См;

Узловые токи

А.

3.2.1.3. После подстановки цифровых значений, определяем потенциал : В.

3.3. Определяем токи в ветвях электрической цепи, приведенной на рисунке 2.106.

мА,

мА,

мА,

мА.

3.4. Используя первый закон Кирхгофа, определяем токи и , в электрической цепи, приведенной на рисунке 2.105:

мА;

мА.

4. Проверяем решение, составив баланс мощностей.

4.1. Мощность, генерируемая источниками питания:

Вт,

Вт.

Суммарная мощность источников:

Вт.

4.2. Мощность, потребляемая приемниками:

Вт,

Вт,

Вт,

Вт.

Суммарная мощность, потребляемая приемниками:

Вт.

4.3. Из сравнения генерируемой мощности источником и потребляемой мощности приемниками, следует, что погрешность вычислении и не превышает 0,5%.

2.5.5. Замена параллельных ветвей эквивалентной ветвью

 

 

Допустим, имеется схема, представленная на рисунке 2.107.

 

Рисунок 2.107 – Схема электрической цепи

Доказательство:

На первом этапе ветви с источниками напряжения и последовательно соединенными резистивными сопротивлениями, заменим эквивалентными ветвями с источниками тока (рис. 2.108).

 

 

Рисунок 2.108 – Доказательство замены параллельных ветвей

 

В результате получим схему с параллельно соединенными источниками тока и ветви с параллельно соединенными сопротивлениями. Ветви с параллельно соединенными источниками тока заменяем эквивалентной схемой:

.

Ветви с параллельно соединенными сопротивлениями заменяем эквивалентной схемой:

.

Подобное доказательство можно обосновать с помощью метода узловых потенциалов. Принимаем потенциал точки . Тогда

, .