Дифракція сферичних хвиль на круглому отворі

Д.1-2.1. МЕТОД ЗОН ФРЕНЕЛЯ

Розглянемо монохроматичну сферичну хвилю, яка поширюється від точкового джерела світла S в ізотопному однорідному середовищі (рис. Д.1-2.2).

Необхідно визначити амплітуду світлової хвилі, яка дасягає токи Р, розміщеної на одній прямій, яка сполучає джерело S і точку Р, і проходить через вершину фронту. Відстань від джерела S до вершини фронту позначимо через а, відстань від вершини фронту до точки Р - через b. Поділимо хвильову поверхню на кільцеві зони однакової ширини так, щоб відстань від країв кожної зони до точки Р відрізнялася на λ/2.Ці зони Френеля і являють собою вторинні фіктивні джерела світла. Оптична різниця ходу між випромінюванням, які посилають у точку Р два сусідні вторинні джерела, дорівнює , а різниця фаз становить π.

Тоді відстань від краю першої зони до точки Р дорівнює(b + ), від краю другої зони - (b + ), від краю третьої – (b +3 ), від краю m-ї зони – (b + m ). Зі збільшенням номера зона амплітуда випромінювання в напрямі точки Р зменшується: Загальна кількість зон Френеля, які укладаються на хвильовій поверхні, дуже велика. Тому в межах невеликих значень m залежність від m можна вважати лінійною. Отже, можна записати такі рівняння:

Де p і q – сталі величини.

Тоді амплітуду будь-якої зони можна визначити через амплітуду попередньї і наступної:

Амплітуда результуючої хвилі в точці Р визначається за формулою:

Перепишемо цей вираз в такому вигляді:

У межах невеликих значень m амплітуди випромінювання від усіх зон можна вважати однаковими, а отже, і вирази в дужках дорінюють нулю. Звідси дістаємо амплітуду результуючої хвилі в точці Р:

Таким чином, результуюча амплітуда в точці Р повністю відкритого фронту світлових хвиль дорівнює половині амплітуди тільки першої зони Френеля. Отже, в ізотропному однорідному середовищі світло від джерела S у точку Р поширюється прямолінійно.

ДИФРАКЦІЯ СФЕРИЧНИХ ХВИЛЬ НА КРУГЛОМУ ОТВОРІ

Застосуємо метод зон Френеля до дифракції сферичних хвиль на круглому отворі. Сферична монохроматична хвиля поширюється від точкового джерела світла S, причому на її шляху рзміщено діафрагму з круглим отвором (рис.Д1-2.3.).

Необхідно визначити амплітуду світлової хвилі, яка досягає точки Р, розміщеної на одній прямій, що сполучає джерело S і точку Р, і проходить через вершину фронту. Усі відстані і позначення залишаються такии самими, як у попередньому випадку. Однак зони Френеля будуються тільки на відкритій отвором частині фронту. Амплітуда результуючої хвилі в точці Р визначається за формулою

Перепишемо цей вираз у такому вигляді:

У межах невеликих значень m, и амплітуди випромінювання від усіх хон можна вважати однаковими,отже, вирази в дужках дорівнюють нулю. Звідси дістаємо амплітуду результуючої хвилі в точці Р

Якщо кількість зон Френеля m, які укладаються в отворі, парна – у точці Р спостерігається мінімум інтенсивності світла: A=0 і І =0. Тобто в центрі дифракційної картини спостерігається темна пляма(рис. Д.1-2.,а). Якщо кількість зон Френеля m, які укладаються в отворі, непарна – у точці Р спостерігається світла пляма(рис.Д.1-2.4,б)

 

Якщо діафрагму з отвором забрати, амплітуда в точці Р дорівнюватиме

Отже, щоб визначити результат дифракції в точці Р, тобто максимум або мінімум інтенсивності світла, необхідно обчислити кількість зон Френеля, що укладаються в отворі. На рис Д.1-2.5 зображено сферичний фронт, що падає на отвір: h – це висота сегмента, - радіус останньої зони Френеля. Розглянемо прямокутні трикутники SKM і PKM,виконаємо перетворення і дістанемо формулу визначення радіуса останньої зони Френеля, яка укладається в отворі:

Тоді кількість зон Френеля можна визначити за формулою:

 

Для плоского хвильового фронту (а—>∞) формули для визначення радіуса m-ї зони і кількості зон Френеля мають вигляд:

Однак радіус останньої зони дорівнює радіусу отвору . Якщо відомі значення радіуса отвору, відстаней від джерела світла до діафрагми з отвором і від діаграми до точки спостереження Р, можна обчислити кількість зон Френеля і визначити результат дифракції в точці Р, не виконуючи експерименту.