Задача 1. Расчет на прочность консольной балки.

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

 

 

Кафедра "Строительные конструкции и материалы"

 

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

РАСЧЕТ

статически ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК
НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ

Варианты заданий и методические указания по выполнению

расчетно-графической работы для студентов специальностей:

271501.65 – Строительство железных дорог, мостов и

транспортных тоннелей.

190109.65 – Наземные транспортно-технологические

средства.

190300.65 – Подвижной состав железных дорог

 

 

Составители: В.А.Довгий

А.П.Филатов

 

Самара 2012

 

УДК 620.10

 

Сопротивление материалов. Расчёт статически определимых балок на прочность при изгибе. Варианты заданий и методические указания по выполнению расчетно-графической работы / Составители: В.А.Довгий, А.П.Филатов. – Самара: СамГУПС, 2012. - 19с.

 

 

Утверждено на заседании кафедры 24 апреля 2012 г., протокол № 8.

Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета.

 

 

Методические указания составлены в соответствии с программой курса "Сопротивление материалов" для студентов специальностей: 271501.65 – Строительство железных дорог, мостов и транспортных тоннелей, 190109.65 – Наземные транспортно-технологические средства, 190300.65 – Подвижной состав железных дорог.

.

 

 

Составители: Владимир Анатольевич Довгий, ст. преподаватель,

Анатолий Петрович Филатов, к. т. н., доцент.

 

 

Рецензенты: к.т.н., профессор СамГУПС И.Е. Сеськин

д. т. н., профессор кафедры "Высшая математика"

СГАУ В.В. Любимов

 

 

Редактор:И.М. Егорова

Компьютерная вёрстка: Е.А. Самсонова

 

Подписано в печать 12.10.2012. Формат 60х90 1/16

Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. п. л. 1,2.

Тираж250экз. Заказ №………

 

© Самарский государственный университет путей сообщения, 2012

 

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

 

Прямой брус испытывает деформацию изгиба, если он нагружен силами или парами сил в плоскости, проходящей через ось бруса, а сами силы или пары сил действуют перпендикулярно этой оси (рис. 1). Брус под действием этих сил изогнётся, его ось искривится, а в поперечных сечениях появятся изгибающий момент М и поперечная сила Q. Прямолинейный брус, работающий на изгиб, называется балкой.

Рассмотрим в условиях статического равновесия балку, нагруженную сосредоточенной силой F, распределенной нагрузкой с интенсивностью q=q(z) и парой сил M (рис.2 а). Применяя метод сечений, разделим брус мысленно на две части (рис. 2 б).

 

 

 

Рис.1

 

 

Рис.2

 

Для того чтобы каждая из частей находилась в равновесии, в сечении необходимо приложить поперечную силу Q и изгибающий момент М (рис.2 в). Эти силовые факторы определяются из уравнений равновесия одной из частей бруса по следующим правилам: поперечная сила Q в каком либо сечении балки равна сумме проекций всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения, на направление перпендикулярное оси балки; изгибающий момент М в каком либо сечении балки равен сумме моментов всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения относительно центра тяжести этого сечения.

 

 

Правила знаков при определении поперечной силы и изгибающего момента.

Поперечная сила Q считается положительной, если внешняя сила стремится повернуть рассматриваемую часть балки относительно сечения по часовой стрелке, если внешняя сила стремится повернуть рассматриваемую часть балки против часовой стрелки, то Q принимается отрицательной. Эти правила знаков можно представить схемой (рис. 3)

 

 

 

 

Рис.3

 

Изгибающий момент считается положительным, если внешние силы изгибают балку выпуклостью вниз, если выпуклость балки будет вверх, то момент будет отрицательным (рис. 4).

Рис.4

 

Графики зависимостей Q=Q(z) и M=M(z), называются эпюрами поперечных сил и изгибающих моментов. Положительные значения поперечных сил откладываются

вверх от продольной оси балки. Положительные значения изгибающих моментов инженеры-машиностроители откладывают вверх от оси балки, а инженеры-строители вниз от оси балки, т.е. ординаты эпюры моментов во втором случае располагаются со стороны растянутого волокна балки.

При изгибе между интенсивностью распределённой нагрузки q, поперечной силой Q и изгибающим моментом M существуют дифференциальные зависимости, с помощью которых можно проверить правильность построения эпюр внутренних усилий:

 

1. На участке, где нет распределённой нагрузки (q=0) поперечная сила постоянна, изгибающий момент изменяется по линейной зависимости (рис.5). В частном случае может быть одновременно q=0 и Q=0, тогда изгибающий момент постоянен.

2. На участке, где имеется равномерно распределённая нагрузка, поперечная сила Q изменяется по линейной зависимости, изгибающий момент – по квадратичной зависимости, выпуклость которой обращена в сторону действия распределенной нагрузки q (рис.5 б, в).

Если на этом участке поперечная сила в некотором сечении равна нулю, то изгибающий момент в этом сечении достигает экстремального значения – максимума или минимума.

3. В сечении, где приложена сосредоточенная сила F, на эпюре Q будет скачок, равный величине этой силы и направленной в ту же сторону, а эпюра моментов будет иметь излом, направленный в сторону действия силы F (рис.5 а, г).

4. В сечении, где приложен сосредоточенный изгибающий момент, на эпюре М будет скачок, равный величине этого момента. Направление скачка будет вверх, если сосредоточенный момент направлен по ходу часовой стрелки, и вниз, если против хода часовой стрелки (рис.5 д).

5. Если на участке балки Q>0, то момент на этом участке возрастает, если Q<0, то момент убывает, если Q=0, М= const.

 

 

а) б)

в) г) д)

Рис.5

Условие прочности при изгибе

При изгибе в балке, от действия изгибающих моментов, возникают нормальные напряжения σ, которые распределяются в поперечном сечении по линейному закону (рис. 6, а, б). На уровне нейтральной оси при y= 0 σ =0. В волокнах максимально удаленных от нейтральной оси, то есть на поверхности балки, возникают максимальные напряжения σ_max (растяжение) и минимальные напряжения σ_min (сжатие).

 

а) б)

Рис. 6.

При расчете на прочность элементов конструкций, работающих на изгиб, возможны три вида задач, различающихся формой использования условия прочности (1):

а) проверка напряжений (проверочный расчет);

б) подбор сечения (проектный расчет);

в) определение допускаемой нагрузки (определение грузоподъемности).

Расчет балок на прочность обычно ведется по наибольшим нормальным напряжениям, возникающим в их поперечных сечениях.

Условие прочности тогда имеет вид:

σ_max≤ [σ], или σ_max≤ R (1)

где [σ] - допускаемое напряжение, зависящее в основном от материала балки и ее назначения,

R – расчетное сопротивление материала.

При расчете на прочность по допускаемым напряжениям:

[σ] = (2)

где – предел текучести материала,

n - коэффициент запаса прочности.

При расчете на прочность по предельным состояниям:

R = , (3)

где - нормативное сопротивление материала, устанавливаемое нормами проектирования с учетом условий работы и статистической изменчивости,

k – коэффициент безопасности по материалу.

Когда изгибающий момент М действует в плоскости симметрии сечения, σ_max рассчитывается по формуле:

σ_max , (4)

– значение изгибающего момента, взятое из построенной эпюры внутренних усилий.

W_x= – момент сопротивления при изгибе.

Моменты сопротивления для наиболее часто используемых сечений.

Для балки прямоугольного сечения:

W_x=

где W_x – момент сопротивления относительно оси x,

b и h – горизонтальный и вертикальный размеры сечения соответственно.

 

Для балки круглого сечения:

W_x= где D – диаметр сечения.

 

Для балки кольцевого сечения:

W_x= , ,

где d и D – внутренний и наружный диаметры сечения соответственно.

ЗАДАНИЕ К РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЕ

 

Расчетно-графическая работа состоит из двух задач.

Задача 1. Расчет на прочность консольной балки.

1)Для балки (рис.7), нагруженной внешней нагрузкой (показаны положительные направления q, F, m), требуется составить выражения изменения изгибающего момента M и поперечной силы Q на всех участках и построить эпюры этих внутренних усилий, взяв исходные данные из Табл.1-4.

2) По опасному сечению подобрать прямоугольное поперечное сечение размерами hxb, взяв соотношение сторон h:b= 1+0,1j (j – из Табл.4). В расчете принять допускаемое напряжение [σ]=18 Мпа или расчетное сопротивление R=18 MПа, что соответствует материалу балки из древесины.

 

 

Рис.7

 

 

Таблица 1

 

1-я цифра шифра
q(кН/м)	16	14	-15	-8	12	-10	13	15	-9	-11
l(м)	0,8	0,9	0,7	1,0	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0,4

 

 

Таблица 2

 

2-я цифра шифра
lq	l AB	l BC	l CD	l AC	l AD	l BD	l AC	l AB	l BC	l CD
l BC	0,6l	0,5l	0,4l	0,9l	0,8l	0,7l	0,6l	0,7l	0,8l	0,5l

 

Таблица 3

 

3-я цифра шифра
m (кН×м)	mD= -0,7ql2	mC= 0,6ql2	mD= 0,9ql2	mC= -1,2ql2	mB= -2ql2	mB= 2ql2	mD= -0,8ql2	mD= -1,4ql2	mB= 1,8ql2	MC= -1,6ql2
l CD	0,4l	0,3l	0,5l	0,6l	0,7l	0,4l	0,3l	0,8l	0,7l	0,6l

 

Таблица 4

 

4-я цифра шифра
F (кН)	FB= -2,2ql	FD= -1,6ql	FB= 2,4ql	FC= 1,8ql	FD= -1,5ql	FB= 2,5ql	FD= -1,7ql	FB= -2,7ql	FD= 1,4ql	FC= 2ql
l AB	0,8l	0,7l	0,6l	0,5l	0,4l	0,l	0,8l	0,9l	l	1,1l
j			3	2	1	9	8	7	6	0