Основные теоремы дифференциального исчисления

1. Теорема Ферма. (Ферма Пьер (1601–1665гг.) – французский математик).

Пусть функция определена на интервале ; в некоторой точке этого интервала она принимает наибольшее или наименьшее значение.

Тогда, если в точке существует конечная производная, то она равна нулю, т.е. .

Геометрический смысл теоремы Ферма.

касательная параллельна оси .

2. Теорема Ролля. (Ролль Мишель (1652–1719гг.) – французский математик)

Пусть функция определена на ,

причем: 1) непрерывна на ;

2) дифференцируема на ;

3) .

Тогда существует точка , в которой .

Геометрический смысл теоремы Ролля.

касательная параллельна оси .

3. Теорема Лагранжа. (Лагранж Жозеф-Луи (1736–1813гг.) – французский математик).

Пусть функция определена на ,

причем: 1) непрерывна на ;

2) дифференцируема на ;

Тогда существует такая точка , что справедлива формула

Доказательство. Введем вспомогательную функцию

Тогда: 1) непрерывна на , так как является разностью непрерывной функции и линейной ;

2) дифференцируема на , т.е. внутри имеет производную ;

3) ;

Следовательно, по теореме Ролля существует точка , в которой , т.е. . ¢

Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

– это угловой коэффициент секущей, проходящей через точки и кривой ;

– это угловой коэффициент касательной к кривой в точке с координатами .

Таким образом, существует такая точка, в которой касательная параллельна секущей. Таких точек может быть и несколько, но

обязательно одна существует.

Замечание. Равенство , где называют формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений.

4. Теорема Коши. (Коши Огюстен Луи (1789–1853гг.) – французский математик).

Пусть функции и непрерывны на и дифференцируемы на . Пусть .

Тогда существует такая точка , что справедлива формула

Эта формула называется формулой Коши, или обобщенной формулой конечных приращений.

Замечание. Для всех четырех теорем указанные в формулировке условия существенны. Если хотя бы одно из них не выполняется, то теоремы не справедливы.

Например, на непрерывна, дифференцируема, но так как и , то теорема Ролля не выполняется, т.е. нет такой точки , где .

Пример. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции на и найти .

¦ ,

, , .

Правило Лопиталя

Теорема Лопиталя

(Лопиталь Гильон Франсуа (1661–1704) – французский математик).

Теорема. Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , но в самой точке могут быть и не определены. Пусть и в указанной окрестности точки .