Ћекции.ќрг
 

 атегории:


»скусственные сооружени€ железнодорожного транспорта: »скусственные сооружени€ по прот€женности составл€ют в среднем менее 1,5% общей длины пути...


јгроценоз пшеничного пол€: –ассмотрим агроценоз пшеничного пол€. ≈го растительность составл€ют...


ѕеревал јлакель —еверный 1ј 3700: ќгиба€ скальный прижим у озера, тропа поднимаетс€ сначала по трав€нистому склону, затем...

ќсновные теоремы дифференциального исчислени€



 

1.“еорема ‘ерма. (‘ерма ѕьер (1601Ц1665гг.) Ц французский математик).

 

ѕусть функци€ определена на интервале ; в некоторой точке этого интервала она принимает наибольшее или наименьшее значение.

“огда, если в точке существует конечна€ производна€, то она равна нулю, т.е. .

√еометрический смысл теоремы ‘ерма.

 

 

касательна€ параллельна оси .

2. “еорема –олл€. (–олль ћишель (1652Ц1719гг.) Ц французский математик)

ѕусть функци€ определена на ,

причем: 1) непрерывна на ;

2) дифференцируема на ;

3) .

“огда существует точка , в которой .

√еометрический смысл теоремы –олл€.

 

касательна€ параллельна оси .

3. “еорема Ћагранжа. (Ћагранж ∆озеф-Ћуи (1736Ц1813гг.) Ц французский математик).

 

ѕусть функци€ определена на ,

причем: 1) непрерывна на ;

2) дифференцируема на ;

 

“огда существует така€ точка , что справедлива формула

.

ƒоказательство. ¬ведем вспомогательную функцию

.

“огда: 1) непрерывна на , так как €вл€етс€ разностью непрерывной функции и линейной ;

2) дифференцируема на , т.е. внутри имеет производную ;

3) ;

—ледовательно, по теореме –олл€ существует точка , в которой , т.е. . ¢

 

√еометрический смысл теоремы Ћагранжа.

Ц это угловой коэффициент секущей, проход€щей через точки и кривой ;

 

Ц это угловой коэффициент касательной к кривой в точке с координатами .

 

“аким образом, существует така€ точка, в которой касательна€ параллельна секущей. “аких точек может быть и несколько, но

об€зательно одна существует.

«амечание. –авенство , где называют формулой Ћагранжа, или формулой конечных приращений.

 

4. “еорема  оши. ( оши ќгюстен Ћуи (1789Ц1853гг.) Ц французский математик).

ѕусть функции и непрерывны на и дифференцируемы на . ѕусть .

“огда существует така€ точка , что справедлива формула

.

Ёта формула называетс€ формулой  оши, или обобщенной формулой конечных приращений.

«амечание. ƒл€ всех четырех теорем указанные в формулировке услови€ существенны. ≈сли хот€ бы одно из них не выполн€етс€, то теоремы не справедливы.

Ќапример, на непрерывна, дифференцируема, но так как и , то теорема –олл€ не выполн€етс€, т.е. нет такой точки , где .

ѕример. ѕроверить справедливость теоремы –олл€ дл€ функции на и найти .

,

, , . Ш

ѕравило Ћопитал€

“еорема Ћопитал€

(Ћопиталь √ильон ‘рансуа (1661Ц1704) Ц французский математик).

 

“еорема. ѕусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , но в самой точке могут быть и не определены. ѕусть и в указанной окрестности точки .

“огда, если существует предел

(конечный или бесконечный), то существует и предел , причем справедлива формула .

Ёту теорему называют правилом Ћопитал€.

 

ѕравило Ћопитал€ раскрывает неопределенность .

«амечани€.

1. ѕравило Ћопитал€ имеет место и в случа€х, когда и .

2. ѕравило Ћопитал€ можно примен€ть и при раскрытии неопределенностей .

3. ≈сли отношение производных приводит к неопределенност€м и , то правило Ћопитал€ можно примен€ть повторно.

ѕример 1.

.

 

ѕример 2. .

 





ƒата добавлени€: 2016-11-18; просмотров: 4054 | Ќарушение авторских прав


–екомендуемый контект:


ѕохожа€ информаци€:

ѕоиск на сайте:


© 2015-2019 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.006 с.