1. Теорема Ферма. (Ферма Пьер (1601–1665гг.) – французский математик).
Пусть функция 
определена на интервале 
; в некоторой точке 
этого интервала она принимает наибольшее или наименьшее значение.
Тогда, если в точке существует конечная производная, то она равна нулю, т.е. 
.
Геометрический смысл теоремы Ферма.
касательная параллельна оси 
.
2. Теорема Ролля. (Ролль Мишель (1652–1719гг.) – французский математик)
Пусть функция определена на 
,
причем: 1) непрерывна на ;
2) дифференцируема на ;
3) 
.
Тогда существует точка 
, в которой 
.
Геометрический смысл теоремы Ролля.
касательная параллельна оси .
3. Теорема Лагранжа. (Лагранж Жозеф-Луи (1736–1813гг.) – французский математик).
Пусть функция определена на ,
причем: 1) непрерывна на ;
2) дифференцируема на ;
Тогда существует такая точка , что справедлива формула
.
Доказательство. Введем вспомогательную функцию
.
Тогда: 1) 
непрерывна на , так как является разностью непрерывной функции и линейной 
;
2) дифференцируема на , т.е. внутри имеет производную 
;
3) 
;
Следовательно, по теореме Ролля существует точка , в которой 
, т.е. 
. ¢
Геометрический смысл теоремы Лагранжа.
– это угловой коэффициент секущей, проходящей через точки 
и 
кривой 
;
– это угловой коэффициент касательной к кривой в точке с координатами 
.
Таким образом, существует такая точка, в которой касательная параллельна секущей. Таких точек может быть и несколько, но
обязательно одна существует.
Замечание. Равенство 
, где 
называют формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений.
4. Теорема Коши. (Коши Огюстен Луи (1789–1853гг.) – французский математик).
Пусть функции и 
непрерывны на и дифференцируемы на . Пусть 
.
Тогда существует такая точка , что справедлива формула
.
Эта формула называется формулой Коши, или обобщенной формулой конечных приращений.
Замечание. Для всех четырех теорем указанные в формулировке условия существенны. Если хотя бы одно из них не выполняется, то теоремы не справедливы.
Например, 
на 
непрерывна, дифференцируема, но так как 
и 
, то теорема Ролля не выполняется, т.е. нет такой точки 
, где 
.
Пример. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции 
на 
и найти .
¦ 
, 
, 
, 
. ?
Правило Лопиталя
Теорема Лопиталя
(Лопиталь Гильон Франсуа (1661–1704) – французский математик).
Теорема. Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , но в самой точке могут быть и не определены. Пусть 
и в указанной окрестности точки .
Тогда, если существует предел 
(конечный или бесконечный), то существует и предел 
, причем справедлива формула 
.
Эту теорему называют правилом Лопиталя.
Правило Лопиталя раскрывает неопределенность 
.
Замечания.
1. Правило Лопиталя имеет место и в случаях, когда 
и 
.
2. Правило Лопиталя можно применять и при раскрытии неопределенностей 
.
3. Если отношение производных приводит к неопределенностям и , то правило Лопиталя можно применять повторно.
Пример 1. 
.
Пример 2. 
.