Логарифмическое дифференцирование

 

В некоторых случаях для нахождения производной сначала можно функцию прологарифмировать, а затем от полученного выражения вычислить производную.

Такая операция называется логарифмическим дифференцированием.

Существуют функции, производные от которых находят лишь с помощью логарифмического дифференцирования.

 

К таким функциям относится показательно-степенная функция .

 

Прологарифмируем выражение .

Найдем производную от обеих частей полученного равенства, учитывая, что является функцией от

.

Тогда

или .

 

Пример 1. Найти производную функции .

¦ Прологарифмируем выражение:

Тогда

или . �

Пример 2. Найти производную функции .

¦ Прологарифмируем выражение:

Тогда

или

. �

 

 

Производные высших порядков

Производная от функции есть также функция от и называется производной первого порядка.

Производная от производной первого порядка называется производной второго порядка и обозначается .

Производная от производной () -го порядка называется производной -го порядка и так далее. Начиная с четвертого порядка, производные обозначаются:

или , или и так далее.

Например: , , , , .

 

Физический смысл производной второго порядка.

Если функция описывет закон движения материальной точки по прямой линии, то – ускорение точки в момент времени .

 

 

Производная неявной функции

Пусть функция задана неявно, т.е уравнением , неразрешенным относительно . Чтобы найти производную от по , нужно продифференцировать это уравнение, учитывая, что является функцией от . Затем из полученного выражения выразить .

 

Пример 1. Найти производную функции .

¦ Найдем производные по от каждой части уравнения.

 

. �

Пример 2. Найти производную второго порядка от функции, заданной неявно:

¦ 1) Найдем : , .

2) Найдем : , заменим

. �

Производная функции, заданной параметрически

 

Будем говорить, что переменная как функция аргумента задана параметрически, если обе переменные и заданы как функции некоторой третьей переменной :

, где – параметр (дополнительная переменная).

Предположим, что существуют и , а функция имеет обратную функцию . Тогда .

В этом случае, параметрически заданную функцию можно рассматривать как сложную функцию .

Тогда .

 

Производная второго порядка находится по формуле:

 

или .

Пример 1. Функция задана параметрически: .

Найти производную второго порядка по .

 

¦ . �

Пример 2. Функция задана параметрически: .

Найти производную второго порядка по .

 

¦ . �

 

Дифференциал функции

 

Пусть функция имеет отличную от нуля производную

.

Тогда по теореме о связи функции, ее предела и б.м.ф. можно записать , где при .

– это сумма двух б.м.ф. при . При этом первое слагаемое б.м.ф одного порядка с , а второе слагаемое б.м.ф более высокого порядка, чем .

Поэтому первое слагаемое является главной частью приращения функции и называется дифференциалом первого порядка функции в точке .

Обозначают дифференциал так: или .

Дифференциал равен произведению производной функции и приращения аргумента . Найдем дифференциал аргумента .

 

Следовательно, .

Геометрический смысл дифференциала первого порядка.

Следовательно, дифференциал первого порядка функции в точке –это приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке .

 

Если , то . Последнее равенство можно использовать для приближенного вычисления значения .

Пример 1. Вычислить .

¦ Пусть .

Тогда

�