Ћекции.ќрг
 

 атегории:


ћакетные упражнени€: ћакет выполн€етс€ в масштабе 1:50, 1:100, 1:200 на подрамнике...


”ниверсальный восьмиосный полувагона: ѕередний упор отлит в одно целое с ударной розеткой.  онцева€ балка 2 сварна€, коробчатого сечени€. ќна состоит из...


ќЅЌќ¬Ћ≈Ќ»≈ «≈ћЋ»: ѕрошло более трех лет с тех пор, как —овет ћинистров ———– и ÷ентральный  омитет ¬ ѕ...

Ћогарифмическое дифференцирование



 

¬ некоторых случа€х дл€ нахождени€ производной сначала можно функцию прологарифмировать, а затем от полученного выражени€ вычислить производную.

“ака€ операци€ называетс€ логарифмическим дифференцированием.

—уществуют функции, производные от которых наход€т лишь с помощью логарифмического дифференцировани€.

 

  таким функци€м относитс€ показательно-степенна€ функци€ .

 

ѕрологарифмируем выражение .

Ќайдем производную от обеих частей полученного равенства, учитыва€, что €вл€етс€ функцией от

.

“огда

или .

 

ѕример 1. Ќайти производную функции .

¶ ѕрологарифмируем выражение:

“огда

или . Ш

ѕример 2. Ќайти производную функции .

¶ ѕрологарифмируем выражение:

“огда

или

. Ш

 

 

ѕроизводные высших пор€дков

ѕроизводна€ от функции есть также функци€ от и называетс€ производной первого пор€дка.

ѕроизводна€ от производной первого пор€дка называетс€ производной второго пор€дка и обозначаетс€ .

ѕроизводна€ от производной ( )-го пор€дка называетс€ производной -го пор€дка и так далее. Ќачина€ с четвертого пор€дка, производные обозначаютс€:

или , или и так далее.

Ќапример: , , , , .

 

‘изический смысл производной второго пор€дка.

≈сли функци€ описывет закон движени€ материальной точки по пр€мой линии, то Ц ускорение точки в момент времени .

 

 

ѕроизводна€ не€вной функции

ѕусть функци€ задана не€вно, т.е уравнением , неразрешенным относительно . „тобы найти производную от по , нужно продифференцировать это уравнение, учитыва€, что €вл€етс€ функцией от . «атем из полученного выражени€ выразить .

 

ѕример 1.Ќайти производную функции .

¶ Ќайдем производные по от каждой части уравнени€.

 

. Ш

ѕример 2.Ќайти производную второго пор€дка от функции, заданной не€вно:

¶ 1) Ќайдем : , .

2) Ќайдем : , заменим

. Ш

ѕроизводна€ функции, заданной параметрически

 

Ѕудем говорить, что переменна€ как функци€ аргумента задана параметрически, если обе переменные и заданы как функции некоторой третьей переменной :

, где Ц параметр (дополнительна€ переменна€).

ѕредположим, что существуют и , а функци€ имеет обратную функцию . “огда .

¬ этом случае, параметрически заданную функцию можно рассматривать как сложную функцию .

“огда .

 

ѕроизводна€ второго пор€дка находитс€ по формуле :

 

или .

ѕример 1. ‘ункци€ задана параметрически: .

Ќайти производную второго пор€дка по .

 

. Ш

ѕример 2. ‘ункци€ задана параметрически: .

Ќайти производную второго пор€дка по .

 

. Ш

 

ƒифференциал функции

 

ѕусть функци€ имеет отличную от нул€ производную

.

“огда по теореме о св€зи функции, ее предела и б.м.ф. можно записать , где при .

Ц это сумма двух б.м.ф. при . ѕри этом первое слагаемое б.м.ф одного пор€дка с , а второе слагаемое б.м.ф более высокого пор€дка, чем .

ѕоэтому первое слагаемое €вл€етс€ главной частью приращени€ функции и называетс€ дифференциалом первого пор€дка функции в точке .

ќбозначают дифференциал так: или .

ƒифференциал равен произведению производной функции и приращени€ аргумента . Ќайдем дифференциал аргумента .

 

—ледовательно, .

√еометрический смысл дифференциала первого пор€дка.

—ледовательно, дифференциал первого пор€дка функции в точке Цэто приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке .

 

≈сли , то . ѕоследнее равенство можно использовать дл€ приближенного вычислени€ значени€ .

ѕример 1. ¬ычислить .

¶ ѕусть .

“огда

Ш

 

 





ƒата добавлени€: 2016-11-18; просмотров: 3573 | Ќарушение авторских прав


–екомендуемый контект:


ѕохожа€ информаци€:

ѕоиск на сайте:


© 2015-2019 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.008 с.