Установите постоянный магнит на расстоянии 1 м от катушки, расположив его на оси тангенс–гальванометра в плоскости витков катушки (см. рис. 7.4). Подберите реостатом такой ток I в катушке тангенс – гальванометра, чтобы угол поворота стрелки составил 450. Запишите значение тока в таблицу 7.2.
Таблица 7.2 – Измерение намагниченности постоянного магнита
| № п/п | x (м) | I (А) | x2+R2 | ln(x2+R2) | ln(I) |
Передвиньте магнит ближе к катушке тангенс–гальванометра, установив расстояние 90 см. Увеличьте ток до такого значения, чтобы угол поворота стрелки вновь составил 450. Запишите значение тока в таблицу 7.2.
Рисунок 7.6 – Отклонение картушки компаса под деисвием магнитного поля катушки и компаса
Повторите эти действия, уменьшая последовательно расстояние между магнитом и катушкой каждый раз на 10 см, до тех пор, пока это расстояние не составит 0,5 м.
Поскольку вы при измерениях поддерживали значение угла поворота стрелки равным 450, то тем самым напряженность поля, созданного током катушки Нк, была все время равной напряженности поля Нх, созданной магнитом в ее центре.
Убедитесь, что напряженность поля постоянного магнита убывает при удалении от него в соответствии с (7.9). Для этого по результатам ваших измерений постройте на миллиметровке график зависимости ln I от ln (x2+R2). Угловой коэффициент наклона графика должен быть равным –3/2.
Измерив диаметр и толщину магнита, найдите по (7.9), (7.10) и (7.11) намагниченность постоянного магнита.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что называется индукцией, напряженностью магнитного поля?
2. Какие поля называются вихревыми?
3. Как связаны индукция, напряженность и намагниченность в веществе?
4. Напишите закон Био – Савара – Лапласа. Его назначение.
5. Охарактеризуйте магнитное поле Земли.
6. Какая составляющая магнитного поля Земли – вертикальная или горизонтальная – вращает картушку магнитного компаса?
7. На каких широтах и почему эффективнее работает магнитный компас?
ЛИТЕРАТУРА [1, с. 212-217], [2, с. 290-298], [3, с. 202-208], [4, с. 120-127]
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3.8
ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ
Цель работы: изучение работы релаксационного генератора. Исследование затухающих колебаний в колебательном контуре, определение параметров колебательного контура.
Материалы и оборудование: релаксационный генератор на тиратроне МТХ – 90, наборы катушек индуктивности и конденсаторов, магазин сопротивлений, источник питания УИП-1, осциллограф, вольтметр.
Практическое значение: LC колебательный контур применяется практически в любой аппаратуре, работающей на радиочастотах.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Электрические колебания можно возбудить в системе, называемой колебательным контуром. Реальный колебательный контур состоит из последовательно соединённых конденсатора С, катушки индуктивности L и резистора R (рис.8.1).
Если зарядить конденсатор, то в отсутствие внешней ЭДС он начнет разряжаться и в контуре возникнет изменяющийся во времени ток. Когда заряд конденсатора станет равным нулю, ток в контуре достигнет максимума. Затем ток начнет убывать, не меняя своего направления, что приведет к перезарядке конденсатора. Причиной постепенного, а не скачкообразного изменения тока в контуре является ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке при изменении силы тока в контуре.
После перезарядки конденсатора процесс повторяется в обратном направлении, т.е. в контуре возникают колебания. Периодически меняющейся величиной в колебательном контуре является не только заряд конденсатора q, но и сила тока I, напряжение на обкладках конденсатора Uc и другие. Если активное сопротивление контура равно нулю, то колебания в контуре будут незатухающими, т.е. их амплитуда не будет изменяться со временем. (потери на излучение не учитываем, рассматривая "закрытый" контур)
В реальном контуре его активное сопротивление не равно нулю, поэтому всегда есть потери электрической энергии, связанные с нагреванием проводников. В результате в таком контуре амплитуда колебаний будет постепенно уменьшаться и в конце концов колебания прекратятся. Колебания с уменьшающейся со временем амплитудой, называются затухающими. Чем больше активное сопротивление контура, тем сильнее затухание. Если величина активного сопротивления контура превышает некоторое значение, называемое критическим, то колебания в контуре возбуждаться не будут. Заряд конденсатора при этом будет монотонно уменьшаться и асимптотически стремиться к нулю при t→ ∞. Такой режим называется апериодическим.
Получим уравнение электрических свободных колебаний в контуре при наличии активного сопротивления. Предполагаем, что в контуре выполняется условие квазистационарности, т.е. мгновенное значение силы тока одинаково в любом сечении контура. Условие квазистационарности будет выполняться, если:
, (8.1)
где τ – время распространения электромагнитного возмущения в контуре; l – длина цепи контура; с – скорость света в вакууме; Т – период колебаний.
Для квазистационарных токов к контуру можно применить закон Ома для неоднородного участка цепи (рис. 8.1):
, (8.2)
где 
– ЭДС самоиндукции 
, т.к. , 
, 
(знак “ - ” показывает, что заряд конденсатора убывает; для указанного на рис. 8.1 направления тока конденсатор разряжается), то:
, 
(8.3)
Вводя обозначения:
, 
, (8.4)
перепишем дифференциальное уравнение (8.3) затухающих колебаний в контуре в унифицированном виде:
, (8.5)
где β – коэффициент затухания; ωо – циклическая частота собственных колебаний. Решение уравнения (8.5) будем искать в виде 
. Подставив q в (8.5), получим характеристическое уравнение:
, 
. (8.6)
Общее решение уравнения (5):
, (8.7)
где С1 и С2 - константы, определяемые из начальных условий. В зависимости от соотношений между β и ω различают несколько случаев:
а) β < ωо, то 
. Корни характеристического уравнения (8.6) в этом случае комплексны. Введем обозначение
(8.8)
Тогда 
(i - мнимая единица, i 2= –1) и решение уравнения (7) записывается в виде 
или 
,
или 
. (8.9)
 |
Амплитуда колебаний В(t) экспоненциально убывает со временем. Таким образом, случай β < ωо соответствует затухающим колебаниям (рис. 3.2).
Коэффициент затухания 
имеет, как видно из уравнений 8.9, 8.10, 8.11, следующий смысл: величина 
численно равна времени, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз (τ - постоянная времени затухания).
Напряжение на обкладках конденсатора будет изменяться по аналогичному закону:
(8.10)
Сила тока в контуре: 
, (8.11)
т.е. сила тока в контуре отстает по фазе от напряжения на обкладках конденсатора на величину φ, определяемую соотношениями
, 
(8.12)
Сдвиг фаз меняется в пределах от 
до 
.
Неизвестные константы: начальная амплитуда А и начальная фаза θ определяются из начальных условий. Пусть конденсатор был заряжен до напряжения Uo,а начальная сила тока в контуре была Io. Тогда
, 
(8.13)
, 
(8.14)
Период затухающих колебаний определяется как время, за которое фаза колебания (ωt + θ) изменяется на величину, равную 2π, т.е 
.
Циклическая частота затухающих колебаний определяется формулой (8.8), т.е.
, (8.15)
, (8.16)
т.е. свободные затухающие колебания происходят на частоте меньшей собственной.
Если потери в контуре отсутствуют (R=0), то колебания в контуре будут незатухающими:
, 
. (8.17)
Их период определяется формулой Томсона:
(8.18)
Ток в контуре отстает по фазе от напряжения на величину 
. Начальная фаза и амплитуда колебаний определяются из начальных условий:
, 
(8.19)
б) β > ωо. Оба корня р1,2 уравнения (8.6) действительны. Как видно из формулы (8.7), заряд конденсатора равен сумме двух экспонент, убывающих с разными постоянными времени: 
(8.20)
, 
(8.21)
Процесс разрядки является апериодическим. Конкретный вид кривой разряда определяется начальными условиями. Два примера изображены на рис. 8.3.
в) β = ωо. Оба корня р1,2 уравнения (8.6) совпадают: 
и решение (8.7) не является общим. Общее решение уравнения (8.5) имеет в этом случае вид:
, (8.22)
где константы А и В определяются из начальных условий. Этот режим является также апериодическим и носит название критического. Критический режим возникает при активном сопротивлении контура, равном критическому:
, (8.23)
Два примера кривых разряда в этом случае изображены на рис. 8.4.
Для характеристики колебательной системы используется величина, называемая логарифмическим декрементом затухания. Логарифмический декремент затухания λ определяется как логарифм отношения двух последовательных значений амплитуды колебаний (рис.8.2):
(8.24)
Логарифмический декремент затухания связан с параметрами контура:
(8.25)
Для слабого затухания
(8.26)
За время τ, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз, фаза колебания изменяется на величину
.
Так как одно колебание соответствует изменению фазы на 2π, то за время τ система совершает 
колебаний. Отсюда получаем еще одно определение логарифмического декремента затухания:
(8.27)
Важной характеристикой колебательной системы является добротность, определяемая выражением:
(8.28)
Выясним её физический смысл. Энергия колебательного контура складывается из энергии электрического поля в заряженном конденсаторе и энергии магнитного поля в катушке индуктивности. При этом величина одного и другого вида энергии колеблется от нуля до максимального значения, причем энергия конденсатора максимальна, когда энергия катушки равна нулю и наоборот. Поэтому полная энергия колебательного контура равна, например, максимальной энергии конденсатора 
.
, (8.29)
Убыль энергии за период колебаний 
.
В случае малого затухания: 
, 
.
Тогда: 
.
Таким образом, добротность Q пропорциональна отношению энергии, запасенной в контуре к ее убыли за период колебаний
, (8.30)
(
– средняя потеря энергии за время изменения фазы колебания на 1 радиан).
Для получения затухающих колебаний в настоящей работе используется генератор релаксационных колебаний, т.е. генератор электрических колебаний, не содержащий колебательных систем и преобразующий с помощью активных нелинейных устройств – электронных ламп, газоразрядных или полупроводниковых приборов – энергию постоянных источников в энергию колебаний, период которых определяется временем релаксации системы (релаксация – переход из возбужденного состояния в состояние равновесия).
Схема простейшего генератора релаксационных колебаний приведена на рис. 8.5. Газоразрядная (неоновая) лампа, шунтированная конденсатором Со питается от источника постоянного тока через резистор R0.
 |
Газоразрядная лампа обладает тем свойством, что разряд в ней начинается только при некотором напряжении, называемом напряжением зажигания Uз, а прекращается при меньшем напряжении, называемом напряжением гашения Uг. Идеализированная вольтамперная характеристика газоразрядной лампы приведена на рис. 8.6.
При напряжении на лампе 
ток через лампу отсутствует (I=0). Пренебрегая длительностью переходных процессов, можно считать, что при 
в лампе мгновенно возникает ток Iз (газовый разряд). При дальнейшем увеличении напряжения сила тока возрастает почти линейно. При уменьшении напряжения до Uз лампа не гаснет и при дальнейшем уменьшении U ток линейно уменьшается вплоть до значения напряжения Uг, когда прекращается газовый разряд, лампа гаснет, и ток скачкообразно обращается в нуль.
Пусть в момент времени to=0 включено питание генератора (рис. 8.5). Конденсатор начинает заряжаться через резистор Ro. Если бы лампа отсутствовала, то напряжение на конденсаторе возрастало бы по закону
(8.31)
 |
График этой зависимости показан на рис. 8.7 пунктирной линией. Однако, как только напряжение на конденсаторе достигнет значения Uз, возникнет газовый разряд, через лампу потечет ток и конденсатор начнет разряжаться (при условии
), напряжение на нем начнет падать. Когда оно уменьшится до величины U г,разряд прекратится, и конденсатор вновь начнет заряжаться. График зависимости напряжения на конденсаторе показан на рис.8.7 (пилообразное напряжение).
Период колебаний генератора Т0 определяется как время между двумя последовательными зажиганиями (или гашениями) лампы:
. (8.32)
