Соударение двух тел

Рассмотрим количественные соотношения, которые получаются при описании различных соударениях двух тел.

Обычно рассматривают два предельных случая: абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.

Абсолютно упругий удар – это удар, при котором сохраняется полная механическая энергия.

Нахождение скоростей даже двух материальных точек после абсолютно упругого удара в лабораторной системе отсчета в общем виде – довольно громоздкая задача. Однако в системе центра масс эта задача имеет простое решение.

Допустим, в лабораторной системе импульс первого шарика (материальной точки) равен , а второго шарика – . Тогда скорость V _c центра масс системы двух шариков равна (18.6):

.

Переходя в систему центра масс и используя преобразования Галилея (8.3), имеем:

– скорость первого шарика в системе центра масс равна: .

– скорость второго шарика в системе центра масс равна: .

Тогда импульс первого шарика в системе центра масс равен:

;

Импульс второго шарика в системе центра масс равен:

.

Как и следовало ожидать, сумма импульсов двух шариков в системе центра масс равна нулю.

После удара сумма импульсов в системе центра масс после удара также должна быть равной нулю, так как мы предполагаем систему шариков замкнутой. Это значит, что импульсы шариков после удара будут равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Скорости шариков после удара изменят свое направление в системе центра масс на некоторый угол, который определяется начальными условиями (центральный или косой удары). Модули же импульсов останутся неизменными: . Покажем это, используя закон сохранения энергии. Кинетические энергии шариков до удара равны:

.

Вследствие выполнения закона сохранения механической энергии при абсолютно упругом ударе, суммарная кинетическая энергия шариков после удара должна остаться прежней:

и .

Таким образом, в системе центра масс абсолютно упругий удар двух шариков приводит к тому, что импульсы шариков по модулю не изменяются, меняется только направление их движения, определяемое начальными условиями.

Теперь, чтобы определить конечные импульсы шариков в лабораторной системе, необходимо применить опять преобразования Галилея (8.3).

. (*)

. (**)

Здесь вектор е _1к– единичный вектор, проведенный по направлению конечного импульса первого шарика в системе центра масс.

Эти выражения позволяют довольно легко ответить на вопрос, какая энергия в среднем передается при хаотических соударениях шариков различных масс. Полученный результат нам пригодится при рассмотрении хаотического движения атомов и молекул газа, и позволит уяснить физический смысл температуры газа.

В силу хаотичности движения шариков, их скорости должны иметь беспорядочные направления. Отсюда следует, что средние значения скалярных произведений á v ₁× v ₂ñ, á v ₁× е _1кñ и á v ₂× е _1кñ должны быть равны нулю. Тогда, используя выражение (*), получим, что среднее приращение энергии первого шарика áDЕ₁ñ в результате многочисленных столкновений будет равно,

,

где р_1к и р₂ – конечный и начальный импульсы шариков;

– средние начальная и конечная их кинетические энергии.

Отсюда следует, что если средняя энергия второго шарика больше чем средняя энергия первого шарика, то в результате хаотических столкновений первый шарик в среднем будет получать энергию от второго шарика. Процесс передачи энергии будет продолжаться до тех пор, пока средние энергии шариков не уравняются. Этот важный результат показывает, что средние энергии атомов и молекул в равновесном состоянии будут равны, даже если массы атомов различны.

Рассмотрим с помощью полученных результатов частный случай – центральный удар шаров. Это означает, что векторы начальных скоростей обоих шаров лежат на прямой, соединяющей их центры. Она называется линией центров.

Рассмотрим этот удар в системе центра масс.

Очевидно, что и скорость центра масс и конечные скорости шаров после удара лежат на этой же прямой. Это означает, что в системе центра масс и начальные ()и конечные() векторы импульсов должны также лежать на линии центров. Следовательно, конечный импульс первого шара может быть равен либо его начальному импульсу (это означало бы, что шары еще не претерпели столкновения), либо должен быть направлен в противоположную сторону:

. (***)

А поскольку , то в системе центра масс абсолютно упругий центральный удар шаров приводит к обмену шаров импульсами.

Непосредственно из (*) и (**) с учетом (***) следует:

;

.

Следовательно,

; .

В качестве примера рассмотрим случай, когда один из шаров покоится, например, т₂. Так как v₂ = 0, то и

; .

Направим одну из осей координат вдоль линии центров по направлению скорости v ₀ налетающего шара m₁. Тогда,

.

Для анализа полученного результата, введем параметр , характеризующий отношение масс, сталкивающихся шаров. Тогда скорости шаров после удара будут равны: . Построим графики полученных зависимостей. По оси абсцисс будем откладывать параметр k, а по оси ординат отношение скорости шара после удара к начальной скорости налетающего шара. Кривая 1 относится к налетающему шару, а кривая 2 к покоящемуся. Из анализа этих кривых можно сделать следующие выводы:

– если масса налетающего шара меньше , то его скорость станет отрицательной, т.е. он отлетит после удара в обратную сторону;

– если массы шаров равны т ₁ = т ₂ (k =1), то шары обменяются скоростями;

– с ростом массы т ₁ налетающего шара его скорость после удара будет стремиться к v ₀, а скорость отскочившего шара к 2 v ₀. Это максимальная скорость, которую может приобрести отлетающий шар.

Зная конечные скорости шаров v ₁ и v ₂, легко вычислить их импульсы р ₁ и р ₂.

; ,

где – начальный импульс налетающего шара.

Построим графики зависимостей импульсов разлетевшихся шаров от параметра k. По оси ординат будем откладывать отношение импульсов шаров р ₁ и р ₂ к начальному импульсу налетающего шара р ₀. Кривая 1 по-прежнему относится к налетающему шару, а кривая 2 к покоящемуся. Из анализа этих кривых можно сделать следующие выводы:

– при налетающий шар приобретает импульс противоположный начальному импульсу р ₀, а второму шару сообщается удвоенный начальный импульс р ₀;

– при равных массах (k = 1) шары обмениваются импульсами;

– при соотношении масс шары после удара имеют одинаковые модули импульсов, равные 0,5 р ₀;

– при дальнейшем росте массы т ₁налетающий практически не меняет своего импульса р ₀,а импульс второго шара стремится к .

Вычислим кинетические энергии разлетающихся шаров.

; ,

где – начальная кинетическая энергия налетающего шара.

Построим графики зависимостей кинетических энергий Е ₁ и Е ₂ разлетевшихся шаров от параметра k, при этом по оси ординат будем откладывать отношение энергий шаров Е ₁ и Е ₂ к начальной энергии налетающего шара Е ₀. Кривая 1 по-прежнему относится к налетающему шару, а кривая 2 к покоящемуся. Проанализируем полученные кривые.

а) Каждому значению энергии Е / Е ₀ соответствуют два значения k ₁ и k ₂, причем k ₁ = 1/ k ₂. Действительно, легко убедиться, что и . Поясним, что это означает, на следующем примере. Допустим, что один шар тяжелее другого в три раза. Независимо от того, какой из шаров покоится, налетающий шар потеряет три четверти своей первоначальной энергии, т.е. у него останется 0,25 Е ₀.

б) При значениях k ₁=0,1716 и энергии разлетающихся шаров равны.

Рассмотрим теперь абсолютно неупругий удар.

Закон сохранения импульса для нашего случая запишется в виде:

.

Отсюда скорость U шаров, которые после неупругого удара движутся вместе, будет равна:

.

Спроектируем это векторное равенство на ось, совпадающую по направлению с вектором v ₀.

Тогда импульс р ₁ первого шара и импульс р ₂ второго шара после удара будут равны:

 

Проследить, как изменяются импульсы шаров р ₁ и р ₂ после неупругого удара, можно построив графики соответствующих зависимостей от параметра . При этом по оси ординат будем откладывать отношение импульсов шаров р ₁ и р ₂ к начальному импульсу налетающего шара р ₀. Кривая 1 по-прежнему относится к налетающему шару, а кривая 2 к покоящемуся.

Вычислим кинетические энергии шаров после неупругого удара.

.

Потери механической энергии D Е после неупругого удара будут равны, очевидно, разности

.

Построим графики зависимостей кинетических энергий Е ₁ и Е ₂ шаров от параметра k. По оси ординат будем откладывать отношение энергий шаров Е ₁, Е ₂ и D Е к начальной энергии налетающего шара Е ₀. Кривая 1 по-прежнему относится к налетающему шару, кривая 2 к покоящемуся, а кривая 3 к потерям механической энергии после неупругого удара.

Анализируя полученные зависимости, можно сделать следующие выводы:

– при равной массе шаров (k =1) кинетическая энергия второго шара равна 0.25 энергии налетающего шара, и это максимальная доля начальной энергии, которую может получить второй шар. Для сравнения, при упругом ударе налетающий шар может полностью передать свою кинетическую энергию покоящемуся шару;

– с ростом k (c увеличением массы m ₁) потери механической энергии D Е приближаются к кинетической энергии Е ₂ второго шара;

– кривая 3 может служить для определения коэффициента полезного действия h удара. Например, если производится процесс ковки металлов, то полезными являются потери механической энергии, и отношение D Е / Е ₀ равно к.п.д. h. Если происходит процесс забивания гвоздей или свай, полезной является оставшаяся механическая энергия, и к.п.д. процесса будет определяться разностью h = 1– D Е / Е ₀.