Связь между потенциальной энергией материальной точки и силой, действующей на нее со стороны потенциального поля

До сих пор мы находили выражения для потенциальной энергии данного силового поля. Поставим обратную задачу: определить вид силового поля по заданному выражению для потенциальной энергии частицы в данном силовом поле.

Пусть F – сила, действующая на материальную точку со стороны потенциального поля. Тогда работа этой силы при перемещении точки ее приложения d r будет равна убыли потенциальной энергии.

F d r = –dU. (15.1)

В координатном виде уравнение (15.1) запишется в виде:

F_xdx + F_ydy +F_zdz = –dU. (15.2)

Допустим, что смещение происходит вдоль только одной координатной оси, например, X. Тогда F_xdx = –(dU)_y,z и, следовательно,

F_x= .

Индексы y, z означают, что при дифференцировании по x координаты y и z должны оставаться постоянными. Величины, получающиеся при таком дифференцировании, называются частными производными функции U. Они обозначаются символом ¶, в отличие от символа d, применяемого при дифференцировании функции одного независимого аргумента.

Аналогичные рассуждения справедливы и для проекций силы F на остальные две оси Y и Z. Таким образом,

F_x= , F_y= , F_z= . (15.3)

Если функция U(x,y,z) известна, то нахождение компонент силы F потенциального полясводится к вычислению частных производных по координатам.

Выражения (15.3) можно объединить в одну векторную формулу:

. (15.4)

Вектор, определяемый соотношением , называется градиентом скаляра U и обозначается gradU. Наряду с обозначением gradU, применяется также обозначение Ñ U. Ñ («набла») означает символический вектор или оператор

. (15.5)

и называется оператором Гамильтона или оператором набла. Таким образом, Ñ U формально может рассматриваться как произведение символического вектора Ñ на скаляр U. Оператор Гамильтона будет широко использоваться в дальнейшем и, особенно в электричестве и магнетизме.

Физический смысл градиента скалярной функции состоит в том, что он показывает направление наибольшего возрастания этой функции в пространстве. Таким образом, вектор силы, взятый со знаком минус, показывает направление наибольшего возрастания потенциальной энергии частицы в этом силовом поле.

Выражение (15.4) позволяет по заданной функции для потенциальной энергии определить вид силового поля.

Мы в самом начале ввели ограничение – рассматривали только стационарные поля, то есть поля, не зависящие от времени.

В общем случае силовое поле может зависеть от времени. Но если условие (13.4) выполняется для любого момента времени, то такие силы будут называться потенциальными.

Таким образом, поле консервативных сил является частным случаем потенциального поля. Поле называется потенциальным, если оно описывается с помощью функции U(x,y,z,t), градиент (15.4) которой определяет силу в каждой точке поля в любой момент времени.

Мы ограничились рассмотрением только стационарных полей. В этом случае потенциальные силы эквивалентны консервативным.