Рассмотрим систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц. Обозначим силу, с которой вторая частица действует на первую, символом F 12, а силу, с которой первая частица действует на вторую, символом F 21 (см. рис. 14.1). По третьему закону Ньютона F 12 = –F 21. Эти силы направлены вдоль прямой, соединяющей частицы. Поэтому силу F 12 можно представить в виде: F 12 = F12 e 12.
В некоторой инерциальной системе отсчета положение первой частицы определяется радиус-вектором r 1, а второй – r 2.
При элементарном смещении частиц от заданного положения силы взаимодействия совершат работу dA, равную:
F 12d r 1 + F 21d r 2 = F 12(d r 1 – d r 2) = –F 12d(r 2 – r 1) = – F 12d r 12 =–F12dr12
Следовательно, dA = –F12dr12 = –dUвз
Выражение F12dr12 можно рассматривать как приращение некоторой функции Uвз(r). Эта функция и представляет собой потенциальную энергию взаимодействия, которая зависит только от взаимного расположения частиц. Вид этой функции можно найти, зная силу F12 взаимодействия частиц. Тогда (Uвз)2 – (Uвз)1 = – 
.
Распространим полученный результат на систему, состоящую из N частиц.
Для системы, состоящей N из частиц, потенциальная энергия взаимодействия слагается из потенциальных энергий частиц, взятых попарно: Uвз= 
.
В этом выражении первое слагаемое – сумма потенциальных энергий взаимодействия первой частицы с остальными, второе слагаемое – сумма потенциальных энергий взаимодействия второй частицы с остальными, кроме первой, третье слагаемое – сумма потенциальных энергий взаимодействия третьей частицы с остальными, кроме первой и второй и т.д. Так как (Uik) = (Uki), энергию взаимодействия можно представить в виде: 
. (14.1)
В этой сумме индексы i и k пробегают значения от 1 до N, причем i¹k. Коэффициент 1/2 связан с тем, что энергия каждой пары учитывается дважды, как (Uik) и как (Uki).
Пример
Вычислить потенциальную энергию взаимодействия трех зарядов q1, q2 и q3, которые расположены в вершинах правильного треугольника со стороной а.
