Важным частным случаем задачи линейного программирования является так называемая транспортная задача.
Классическая транспортная задача – задача о наиболее экономном плане перевозок однородного продукта (или взаимозаменяемых продуктов) из пунктов производства в пункты потребления.
Экономико-математическая модель транспортной задачи в общем виде может быть сформулирована следующим образом:
Имеется m пунктов производства однородного продукта и n пунктов потребления. Для каждого пункта производства i задан объем производства Аi, для каждого пункта потребления j известна потребность (спрос) Вj (в тех же единицах измерения). Известны издержки сij, связанные с перевозкой единицы продукта из пункта i в пункт j.
Требуется составить план перевозок, обеспечивающий наиболее экономным путем (т.е. при наименьших транспортных издержках) удовлетворение всех пунктов потребления за счет реализации всего продукта, произведенного пунктами производства. При этом предполагается, что суммарный спрос (В=åjВj) равен суммарному объему производства (А=åiАi). Такие задачи называются закрытыми транспортными задачами.
Что такое план перевозок? План перевозок определяет:
Сколько единиц продукта перевозится от каждого пункта производства к каждому пункту потребления, т.е. план представляется набором чисел х ij (всего таких чисел m´n), где х ij показывает, сколько единиц продукта должно быть перевезено от i-го производителя j-му потребителю. Отметим также, что в термин «транспортные издержки» (сij) не всегда вкладывается строгий экономический смысл. Это могут быть расстояния, тарифы, время, расход топлива и т.п. В каждой конкретной задаче оговаривается конкретный смысл коэффициентов с ij.
Система ограничений примет вид
= Аi (i=1,2,…,m), (2.3.1)
= Вj (j=1,2,…n). (2.3.2)
Система (2.3.1) включает в себя уравнения баланса по поставщикам, а система (2.3.2) – по потребителям. Суммарные транспортные издержки выражаются в виде следующей линейной функции, которую необходимо минимизировать
F = 
à min (2.3.3)
Математическая модель транспортной задачи в общей постановке будет следующей: на множестве неотрицательных решений системы ограничений (2.3.1), (2.3.2) (мы будем называть такие решения допустимые) найти такое решение Х=(х 11, х 12,…, х ij,…, х mn), при котором значение целевой функции (2.3.3) минимально. Условия транспортной задачи весьма удобно представлять в табличной форме.
Таблица 2.3.1
| Пункт произ- водства i | Объем произ- водства Аi | Пункты потребления j и их спрос Вj | |||
| … | n | ||||
| В1 | В2 | … | Вn | ||
| А1 | с11 х 11 | с12 х 12 | … | с1n х 1n | |
| А2 | с21 х 21 | с22 х 22 | … | с2n х 2n | |
| … | … | … | … | … | … |
| m | Аm | сm1 х m1 | сm2 х m2 | … | сmn х mn |
В левом верхнем углу произвольной клетки (i,j) (i – номер строки, j–номер столбца) стоит показатель транспортных затратсij, в правом нижнем – значения переменных х ij(план перевозок). Любое решение Х=(х 11, х 12,…, х ij,…, х mn) системы ограничений (2.3.1) – (2.3.2) назовем распределением поставок.
Простой модификацией данной модели является модель процесса назначения. Речь идёт о назначении m различных специалистов на n мест работы при условии, что каждую работу должен выполнять лишь один специалист, и каждый специалист должен выполнять лишь одну работу. Приоритетная возможность i-го специалиста на получение j-й работы оценивается коэффициентами cij матрицы С. При моделировании таких процессов x ij вводится как булевская переменная:
x ij= 
Правые части всех ограничений в этом случае равны 1.
Аi =1 (i=1,2,…,m), Вj =1 (j=1,2,…n).
Показательно, что, в отличие от решения транспортной задачи, попытка применения на производстве оптимального решения задачи о назначении привела к неожиданным социальным последствиям. Так бригады, где регулярно применялась подобная практика, месяца через три обычно разваливались, рабочие начинали оттуда бежать. Дело в том, что перечень работ изо дня в день практически оставался неизменным, следовательно, и оптимальное решение также не менялось. Таким образом, происходило закрепление определеeнных видов работ за конкретными рабочими, что приводило к существенной дифференциации в заработках и затрудняло желающим повысить свою квалификацию. Поэтому более "опытные" бригадиры, отслеживая потребности членов бригады, самостоятельно подбирали некоторым рабочим соответствующие работы, а для остальных рабочих и оставшихся работ решалась уже задача о назначении. Получавшееся решение естественно не было оптимальным, но зато в бригаде царил мир и порядок. Оптимальное же решение использовалось исключительно во время авралов и коммунистических субботников, т.е. в тех случаях, когда требовалось показать наивысшую производительность труда.
Можно указать достаточно много практических задач, решение которых может быть сведено к решению задачи о назначениях (распределние самолетов по авиалиниям, распределение министерских портфелей и т.п.).
Многими математиками, начиная с Халмоша, предлагалось использовать задачу о назначениях для составления супружеских пар (MarriageProblem), трактуя коэффициенты cij как "меру счастья" будущего союза. Правда, постановка задачи выглядела несколько искусственной, так как каждый раз приходилось фантазировать, чтобы оправдать необходимость массовых бракосочетаний. Однако реальная жизнь оказалась богаче подобных фантазий и основатель "Церкви унификации" кореец Сон Мьюонг Мун (он же Мун Сон Мен или просто Мун) уже около пятидесяти лет каждый год решает подобную задачу для тысяч своих последователей.
Рассмотрим простейший числовой пример транспортной задачи (таб. 2.3.2).
Здесь параметры задачи принимают следующие значения:
с11 =2, с12 =1, с13 =5, с21 =3, с22 =4, с23 =3, с31 =4, с32 =6, с33=6;
А1 =50, А2 =60, А3 =70, В1 =40, В2 =85, В3=55.
Таблица 2.3.2
| 2 х 11 | 1 х 12 | 5 х 13 | |
| 3 х 21 | 4 х 22 | х 23 | |
| 4 х 31 | х 32 | 6 х 33 |
Составим систему уравнений для этого примера.
Чтобы объем производства каждого поставщика был реализован, необходимо выполнение баланса по каждой строке таблицы, т.е.
х 11 + х 12 + х 13 =50
х 21 + х 22 + х 23 = 60 (2.3.4)
х 31 + х 32 + х 33= 70
Аналогично, чтобы спрос каждого из потребителей был удовлетворен, подобные уравнения баланса выписываем для каждого столбца таблицы:
х 11 + х 21 + х 31 = 40
х 12 + х 22 + х 32 = 85 (2.3.5)
х 13 + х 23 + х 33= 55
Суммарные транспортные затраты F ( целевая функция ) выражаются через издержки и поставки следующим образом:
F = 2 х 11 + х 12 + 5 х 13 + 3 х 21 +4 х 22 + 3 х 23 +4 х 31 + 6 х 32 + 6 х 33.
В этом примере шесть уравнений и девять переменных, система (2.3.4)–(2.3.5) имеет бесчисленное множество решений (допустимых поставок). Вот одно из них:
Таблица 2.3.3
| 2 | 1 | 5 | |
| 3 | 4 | ||
| 4 | 15 | 6 |
Суммарные транспортные затраты для данного распределения:
F = 2´40 +1´10 + 5´0 + 3´0 +4´60 + 3´0+4´0 + 6´15 + 6´55=750.
Всего в этом примере около 3600 только целочисленных решений, а если допустить дробность – то бесконечное множество. Все допустимые решения удовлетворяют системе ограничений, но отличаются друг от друга величиной суммарных транспортных издержек.
Вот еще одна допустимая поставка:
Таблица 2.3.4
| 2 | 1 | 5 | |
| 3 | 4 | ||
| 4 | 35 | 6 |
Суммарные транспортные затраты для данного распределения:
F = 1´50 + 3´40 +3´20 + 6´35 + 6´35=650.
Наша задача научиться находить оптимальное решение, т.е. такое, для которого целевая функция имеет наименьшее значение.
Исходный опорный план.
Первым шагом при решении транспортной задачи является получение допустимого решения, которое называют исходный опорный план. Исходный план можно легко получить, используя простой алгоритм, разработанный Данцигом и названный Чарнсом и Купером “правилом северо-западного угла”, хотя исходный план, полученный этим способом, как правило, весьма далек от оптимального.
“Правило северо-западного угла” формулируется следующим образом:
1. Начать с северо-западного угла исходной таблицы – клетки (1,1), куда дать максимально возможную поставку:
х 11 =miníА1,В1ý.
2. Следующую максимально возможную поставку дать либо в клетку (1,2), либо в клетку (2,1), в зависимости от результата первого шага.
3. Продолжить этот процесс шаг за шагом от северо-западного до юго-восточного угла таблицы.
Таким образом, в нашем примере (см. табл. 2.3.3) процесс определения исходного плана происходит следующим образом:
В клетку (1,1) даем максимально возможную поставку:
х 11 =miní50,40ý=40.
После этого спрос 1-го потребителя будет полностью удовлетворен, в результате чего первый столбец таблицы выпадает из последующего рассмотрения. Переходим к клетке (1,2) и даем в нее максимально возможное значение. Учитывая, что 1-й поставщик уже отдал 40 единиц своей продукции и у него осталось только 50 – 40 = 10 единиц, получим х 12 =miní10,85ý=10. После этого объемы 1-го производителя полностью реализованы и из рассмотрения выпадает первая строка таблицы. В оставшейся таблице снова находим «северо-западный угол» и т.д. В результате получаем исходное распределение поставок (см. табл. 2.3.3).
Число заполненных клеток в полученном распределении оказалось равным m+n–1=3+3–1 = 5. Это не случайно. Действительно, на каждом шаге (кроме последнего) из рассмотрения выпадали либо строка, либо столбец, а на последнем шаге и столбец и строка.
Поэтому число заполненных клеток на единицу меньше, чем сумма числа строк и столбцов, т.е. равно m+n–1. Справедлива теорема (которую мы примем без доказательств) утверждающая, что в оптимальном решении число заполненных клеток (т.е. основных, так называемых базисных переменных) должно быть равно m+n–1.
Существенный недостаток метода “северо-западного угла” состоит в том, что он построен без учета значений транспортных издержек. Можно модифицировать данный метод, избавившись от этого недостатка: на каждом шаге максимально возможную поставку следует давать не в “северо-западную” клетку оставшейся таблицы, а в клетку с наименьшим значением транспортных издержек. При этом распределение поставок оказывается, вообще говоря, ближе к оптимуму, чем распределение, полученное методом “северо-западного угла”. Такой метод получения исходного плана называется методом наименьших затрат. Исходный план, полученный данным методом, приведен в табл. 2.3.4.
