В 2.2.2 мы рассматривали общую задачу линейного программирования. Рассмотрим теперь другую экономическую задачу на том же предприятии с теми же исходными данными.
Необходимо определить такие цены
(y 1 ³ 0, y 2 ³ 0,…, ym ³ 0) (2.2.6)
всех ресурсов, чтобы сумма потраченных средств на их приобретение была бы минимальна, т.е.
Z = b 1 y 1 + b 2 y 2 +…+ bm ym à min. (2.2.7)
С другой стороны, предприятию будет выгодно продать ресурсы в случае, если выручка от их продажи будет не менее той суммы, которую предприятие может получить при изготовлении продукции из этих ресурсов. Т.к., на производство единицы продукции j расходуется a 1 j единиц ресурса 1, a 2 j единиц ресурса 2,…, amj единиц ресурса m, то для обеспечения выгодности продажи ресурсов необходимо выполнение следующих неравенств:
a 11 y 1 + a 21 y 2 +…+ am 1 ym ³ с 1,
a 12 y 1 + a 22 y 2 +…+ am 2 ym ³ с 2,
…………………………………. (2.2.8)
a 1 n y 1 + a 2 n y 2 +…+ amn ym ³ сn,
Полученная экономико-математическая модель называется двойственной или сопряженной по отношению к исходной.
Цены ресурсов y 1, y 2,…, ym получили различные названия: учетные, неявные, теневые. В отличие от «внешних» цен с 1, с 2,…, сn на продукцию, известных, как правило, до начала производства, цены ресурсов y 1, y 2,…, ym являются внутренними, ибо они определяются непосредственно в результате решения задачи, поэтому их чаще называют объективно обусловленными оценками ресурсов (Л.В.Канторович).
Построим двойственную задачу для примера 2.2.1:
Z = 12 y 1 + 18 y 2 +15 y 3 à min. (2.2.9)
2 y 1 + 2 y 2 + y 3 ³ 5,
y 1 + 3 y 2 + 3 y 3 ³ 6, (2.2.10)
y 1 ³ 0, y 2 ³ 0, y 3 ³ 0.
Из алгебраических соображений легко показать, что F £ Z, откуда max F =min Z, если они существуют (основная теорема двойственности).
В нашем примере 2.2.1 max F = min Z = 40.5, и объективно обусловленные оценки y 1= 0.75, y 2 = 1.75, y 3 = 0, вычисленные простым счетом в 2.2.5, являются решением двойственной задачи (2.2.9) - (2.2.10).
Действительно, 12´0.75 + 18´1.75 + 15´0 = 40.5.
Из выражения (2.2.9) видно, что если увеличить в условии задачи какое-либо ресурсное ограничение b i на единицу, то Z (и следовательно F) также увеличится ровно на yi.
Однако прямая и двойственная ей задача линейного программирования имеют и экономическое истолкование. Так, в задачах на распределение ограниченных ресурсов в производстве оптимальный план можно получить, либо минимизируя издержки для заданной программы, либо максимизируя выпуск при заданной общей сумме издержек. Двойственными аспектами одной и той же задачи являются распределение ресурсов и оценка их. Если для ресурсов не существует рыночных цен, то необходимо их создать, ввести систему условных или расчетных цен.
Рассмотрим теперь пример 2.2.2 и построим для него двойственную задачу. Напомним, что в этом примере из сена и концентратов необходимо составить суточный рацион питания, калорийность которого 20 кормовых единиц, содержание белка 2000 гр., а кальция 100 грамм. Цена сена 1.5, а концентратов 2.5 усл.единиц за 1 кг. Пусть y 1, y 2, y 3 - наша оценка (за единицу) полезности каждого из этих показателей. Тогда общая (условная) оценка рациона питания:
Z = 20 y 1 + 2000 y 2 +100 y 3.
Мы будем стремиться максимизировать Z. Если 1 кг. сена содержит 0.5 кормовых единиц, 50г белка и 10 г кальция, то оценка его питательного содержания, т.е. 0.5 y 1 + 50 y 2 + 10 y 3, не может превышать его рыночной цены (1.5). Аналогично этому для концентратов оценка питательных веществ, равная y 1 + 200 y 2 + 2 y 3, не может превышать 2.5. Следовательно, двойственную задачу можно сформулировать таким образом:
Найти такие оценки питательных веществ, чтобы
Z = 20 y 1 + 2000 y 2 +100 y 3 à mах (2.2.11)
при условии
0.5 y 1 + 50 y 2 + 10 y 3 £ 1.5,
y 1 + 200 y 2 + 2 y 3 £ 2.5, (2.2.12)
y 1 ³ 0, y 2 ³ 0, y 3 ³ 0.
Мы получили двойственную задачу к примеру 2.2.2, в котором требовалось найти минимальную стоимость входящих в рацион продуктов питания при заданных рыночных ценах на эти продукты и при соблюдении ограничений в отношении потребности в питательных веществах. После введения условных оценок показателей питательности возникает двойственная задача (2.2.11) – (2.2.12), где требуется максимизировать условную оценку рациона питания при соблюдении ограничений, согласно которым расходы в расчете за единицу продукта не могут превышать его заданной рыночной цены. Цель первой, прямой задачи заключается в том, чтобы закупаемые продукты были, возможно, более дешевыми, удовлетворяя вместе с тем требованиям в отношении питательной ценности, а цель сопряженной двойственной задачи – в том, чтобы при заданных рыночных ценах на продукты получить рацион наиболее высокопитательный.
Имея краткую запись общей задачи линейного программирования в виде:
F = 
à max
при ограничениях:
£ bi (i =1,2,…, m),
xj ³ 0 (j =1,2,… n).
можно так же кратко записать двойственную к ней задачу:
m
Z =å b i y i à min
i=1
при ограничениях:
m
å aijy i ³ c j (j =1,2,…, n),
i=1
yi ³ 0 (i =1,2,…, m).
Пример 2.2.3.Дана исходная задача:
максимизировать линейную функцию F = 2× х 1 + 3× х 2 ® max
при ограничениях x 1 + 3× x 2 £ 18,
2× x 1 + x 2 £ 16,
x 2 £ 5,
3× x 1 £ 21,
x 1 ³ 0, x 2 ³ 0.
Требуется составить задачу, двойственную к исходной задаче.
Решение.
Сформулируем двойственную задачу:
Z = 18× y 1 + 16× y 2 + 5× y 3 + 21× y 4 ® min
при ограничениях y 1 + 2× y 2 + 3× y 4 ³ 2,
3× y 1 + y 2 + y 3 ³ 3,
y i ³ 0, i = 1, 4.
