Производственная функция (ПФ) выражает зависимость результата производства от затрат ресурсов. При описании экономики (точнее, ее производственной подсистемы) с помощью ПФ эта подсистема рассматривается как «черный ящик», на вход которого поступают ресурсы R 1,..., Rn, а на выходе получается результат в виде годовых объемов производства различных видов продукции Х1,..., Хm.
В качестве ресурсов (факторов производства) на макроуровне наиболее часто рассматриваются накопленный труд в форме производственных фондов (капитал) К и настоящий (живой) труд L, а в качестве результата – валовой выпуск Х (либо валовой внутренний продукт Y, либо национальный доход N). Во всех случаях результат коротко будем называть выпуском и обозначать X, хотя это может быть и валовой выпуск, и ВВП, и национальный доход.
Остановимся несколько подробнее на обосновании состава фактора К. Накопленный прошлый труд проявляется в основных и оборотных, производственных и непроизводственных фондах. Выбор того или иного состава K определяется целью исследования, а также характером развития производственной и непроизводственной сфер в изучаемый период. Если в этот период в непроизводственную сферу вкладывается примерно постоянная доля вновь созданной стоимости и непроизводственная сфера оказывает на производство примерно одинаковое влияние, это служит основанием напрямую учитывать в ПФ только производственные фонды.
Но производственные фонды состоят из основных и оборотных производственных фондов. Если соотношение между этими составными частями производственных фондов примерно постоянное в течение всего изучаемого периода, то достаточно напрямую учитывать в ПФ только основные производственные фонды.
Если изучаемый период достаточно продолжителен и однороден по влиянию на производство указанных выше составных частей, следует испробовать все варианты включения их в модель (от всех вместе до какого-то одного из них). Чтобы не вдаваться в детали, далее будем К называть фондами.
Таким образом, экономика замещается своей моделью в форме нелинейной ПФ
Х= F(K, L),
т.е. выпуск (продукции) есть функция от затрат ресурсов (фондов и труда).
Производственная функция Х=F(K,L) называется неоклассической, если она является гладкой и удовлетворяет следующим условиям, поддающимся естественной экономической интерпретации:
1) F( 0, L) = F(K, 0) = 0
- при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно;
2) ,
- с ростом ресурсов выпуск растет;
3) ,
- с увеличением ресурсов скорость роста выпуска замедляется;
4) F (+¥, L) = F(K, +¥) = +¥
- при неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неограниченно растет.
Мультипликативная ПФ задается выражением
,
a 1>0, a 2>0,
где А – коэффициент нейтрального технического прогресса; а 1, a 2 – коэффициенты эластичности по капиталу и труду.
Таким образом, мультипликативная ПФ обладает свойством 1, адекватным реальной экономике: при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно. Частным случаем этой функции служит функция Кобба-Дугласа
, где a 1= a, a 2=1 – a.
Мультипликативная ПФ определяется по временному ряду выпусков и затрат ресурсов (Хt, Кt, Lt,), t= 1,..., Т, где T – длина временного ряда, при этом предполагается, что имеет место Т соотношений
,
где dt — корректировочный случайный коэффициент, который приводит в соответствие фактический и расчетный выпуск и отражает флюктуацию результата под воздействием других факторов, Мdt = 1. Поскольку в логарифмах эта функция линейна:
ln Хt = ln A + atln Kt+ a2ln Lt + et, где et = ln dt, Мet= 0,
получаем модель линейной множественной регрессии. Параметры функции А, a 1, a 2 определяются методами корреляционно-регрессионного анализа, рассматриваемого в дисциплине «Эконометрика».
В качестве примера приведем мультипликативную функцию валового выпуска Российской Федерации (млрд. руб.) в зависимости от стоимости основных производственных фондов (млрд. руб.) и числа занятых в народном хозяйстве (млн. чел.) по данным за 1960-1994 гг. (все стоимостные показатели даны в сопоставимых ценах для этого периода):
X=0,931K0,539L0,594
Мультипликативная функция обладает также свойством 2, адекватным реальной экономике: с ростом затрат ресурсов выпуск увеличивается, т.е.
,
так как a 1 >0.
,
так как a 2>0.
Частные производные выпуска по факторам называются предельными продуктами или предельными (маржинальными) эффективностямифакторов и представляют собой прирост выпуска на малую единицу прироста фактора:
– предельный продукт фондов, предельная фондоотдача (предельная эффективность фондов);
– предельный продукт труда, предельная производительность (предельная эффективность труда).
Для мультипликативной функции вытекает, что предельная фондоотдача пропорциональна средней фондоотдаче с коэффициентом a 1 , а предельная производительность труда – средней производительности труда
с коэффициентом а 2:
,
.
Из чего вытекает, что при а 1 < 1, a 2 < 1 предельные отдачи факторов меньше средних; при этих же условиях мультипликативная функции обладает свойством 3, которое очень часто наблюдается в реальной экономике: с ростом затрат ресурса его предельная отдача падает, т.е.
, так как а 1<1;
, так как а 2<1.
Из также видно, что мультипликативная функция обладает свойством 4, т.е. при неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неограниченно растет. Таким образом, мультипликативная функция при 0 < а 1 < 1, 0< а 2 < 1 является неоклассической.
Перейдем теперь к экономической интерпретации параметров А, а 1, а 2 мультипликативной ПФ. Параметр А обычно интерпретируется как параметр нейтрального технического прогресса: при тех же а 1, а 2 выпуск в точке (К, L) тем больше, чем больше А. Для интерпретации а 1, а 2 необходимо вспомнить понятиеэластичности, рассмотренное в 1.1.2.
Получаем а 1 – эластичность выпуска по основным фондам, а a 2 – эластичность выпуска по труду.
Например, согласно ПФ X=0,931K0,539L0,594 при увеличении основных фондов (ОФ) на 1% валовой выпуск повысится на 0,539%, а при увеличении занятых на 1% – на 0,594%.
Если а 1 > a 2 имеет место трудосберегающий (интенсивный) рост, в противном случае – фондосберегающчй (экстенсивный) рост.
Рассмотрим темп роста выпуска
.
Если возвести обе части уравнения в степень , получим соотношение
,
в котором справа – взвешенное среднее геометрическое темпов роста затрат ресурсов, при этом в качестве весов выступают относительные эластичности факторов
,
.
При а 1+ а 2 > 1 выпуск растет быстрее, чем в среднем растут факторы, а при а 1+ а 2 < 1 – медленнее. В самом деле, если факторы растут (т.е. Kt+1>Kt, Lt+1>Lt) то согласно растет и выпуск (т.е. Xt+1>Xt ),следовательно, при а 1+ а 2 > 1
,
т.е. действительно, темп роста выпуска больше среднего темпа роста факторов. Таким образом, при а 1+ а 2 >1 ПФ описывает растущую экономику.
Линией уровня на плоскости К, L, или изоквантой, называется множество тех точек плоскости, для которых F(K, L)=Х0= const. Для мультипликативной ПФ изокванта имеет вид:
или
,
т.е. является степенной гиперболой, асимптотами которой служат оси координат.
Для разных К, L, лежащих на конкретной изокванте, выпуск равен одному и тому же значению X0, что эквивалентно утверждению о взаимозаменяемости ресурсов.
Поскольку на изокванте F(K, L) = Х0 = const, то
.
В этом соотношении ,
, поэтому dK и dL имеют разные знаки: если dL <0, что означает сокращение объема труда, то dK >0, т.е. выбывший в объеме
труд замещается фондами в объеме dK.
Поэтому естественно следующее определение, вытекающее из .
Предельной нормой замены SK труда фондами называется отношение модулей дифференциалов ОФ и труда:
,
соответственно, предельная норма замены SL фондов трудом
, при этом Sk SL=1.
Для мультипликативной функции норма замещения труда фондами пропорциональна фондовооруженности:
,
,
что совершенно естественно: недостаток труда можно компенсировать его лучшей фондовооруженностью.
Изоклиналями называются линии наибольшего роста ПФ. Изоклинали ортогональны линиям нулевого роста, т.е. изоквантам. Поскольку направление наибольшего роста в каждой точке (К, L) задается градиентом
grad , то уравнение изоклинали записывается в форме
.
В частности, для мультипликативной ПФ получаем,
,
поэтому изоклиналь задается дифференциальным уравнением
, которое имеет решение
,
,
где (L0; К0) – координаты точки, через которую проходит изоклиналь. Наиболее простая изоклиналь при а = 0 представляет собой прямую
.
На рис. 1.1.4 изображены изокванты и изоклинали мультипликативной ПФ.
Рис. 1.1.4
При изучении факторов роста экономики выделяют экстенсивные факторы роста (за счет увеличения затрат ресурсов, т.е. увеличения масштаба производства) и интенсивные факторы роста (за счет повышения эффективности использования ресурсов).
Возникает вопрос: как с помощью ПФ выразить масштаб и эффективность производства? Это сравнительно легко сделать, если выпуск и затраты выражены в соизмеримых единицах, например представлены в соизмеримой стоимостной форме. Однако проблема соизмерения настоящего и прошлого труда до сих пор не решена удовлетворительным образом. Поэтому воспользуемся переходом к относительным (безразмерным) показателям. В относительных показателях мультипликативная ПФ записывается следующим образом:
,
т.е. X0, K0 L0 — значения выпуска и затрат фондов и труда в базовый год.
Безразмерная форма, указанная выше, легко приводится к первоначальному виду
.
Таким образом, коэффициент получает естественную интерпретацию – это коэффициент, который соизмеряет ресурсы с выпуском. Если обозначить выпуск и ресурсы в относительных (безразмерных) единицах измерения через x, k, l, то ПФ в форме
запишется так:
.
Найдем теперь эффективность экономики, представленной ПФ. Напомним, что эффективность – это отношение результата к затратам. В нашем случае два вида затрат: затраты прошлого труда в виде фондов k и настоящего труда l. Поэтому имеются два частных показателя эффективности: – фондоотдача,
– производительность труда.
Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковую размерность (точнее, одинаково безразмерны), то можно находить любые средние из них. Так как ПФ выражена в мультипликативной форме, то и среднее естественно взять в такой же форме, т.е. среднегеометрическое значение.
Итак, обобщенный показатель экономической эффективности есть взвешенное среднее геометрическое частных показателей экономической эффективности:
,
в котором роль весов выполняют относительные эластичности ,
, т.е. частные эффективности участвуют в образовании обобщенной эффективности с такими же приоритетами, с какими входят в ПФ соответствующие ресурсы.
Из вытекает, что с помощью коэффициента экономической эффективности ПФ преобразуется в форму, внешне совпадающую с функцией Кобба-Дугласа:
х=Eka l1-a,
где Е – не постоянный коэффициент, а функция от (К, L).
Поскольку масштаб производства М проявляется в объеме затраченных ресурсов, то по тем же соображениям, которые были приведены при расчете обобщенного показателя экономической эффективности, средний размер использованных ресурсов (т.е. масштаб производства)
M=kal1-a.
В результате получаем, что выпуск Х есть произведение экономической эффективности и масштаба производства:
Х=ЕМ.
Линейная производственная функция
X=F(K,L)=EKK+ELL,
где EK и EL частные эффективности ресурсов.
EK = – фондоотдача, EL =
– производитель труда.
Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковую размерность (точнее, одинаково безразмерны), то можно находить любые средние из них.
Пример 1.1.5. Валовой внутренний продукт США (Х), измеренный в млрд. долл. в ценах 1987г. возрос с 1960 по 1995 г. в 2,82 раза, основные производственные фонды за этот же период (К) увеличились в 2,88 раза, число занятых (L) – в 1,93 раза. Пусть X=2,248K0,404L0,803. Необходимо рассчитать масштаб и эффективность производства.
Решение.
Из условия x = 2,82; k =2,88; l =1,93.
Сначала находим относительные эластичности по фондам и труду
.
Затем определяем частные эффективности ресурсов
,
,
после чего находим обобщенный показатель эффективности как среднее геометрическое частных:
.
Масштаб устанавливаем как среднее геометрическое темпов роста ресурсов
.
Таким образом, общий рост ВВП с 1960 по 1995 г. в 2,82 раза произошел за счет роста масштаба производства в 2,207 раза и за счет повышении эффективности производства в 1,278 раза (2,82=1,278*2,207).
Приведем несколько типов производственных функций общего вида, наиболее часто используемых в экономической теории. Здесь x 1, x 2, …, x n – значения факторов, определяющих производственную деятельность предприятия.
Функция Кобба-Дугласа. Функция вида:
.
Обычно считается, что сумма ai равна 1.
Функция с постоянной эластичностью замещения. Удобная для анализа производственная функция:
,
где a именуется коэффициентом шкалы; b – коэффициентом замещения, u≤ 1 – коэффициент замещения; w – степень однородности.
Функция Леонтьева. Данная функция носит теоретический характер и описывает совершенно не гибкую технологию производства с очень большим количеством факторов, которые не могут заменить друг друга.
f (x 1, x 2, …, x n) = min (a 1 x 1, a 2 x 2, …, a n x n)
Обобщенная функция Леонтьева (функция с фиксированными пропорциями). В функцию Леонтьева просто вводится степень однородности:
.
Линейная производственная функция. Эта функция также является теоретической абстракцией. Уже по названию функции ясно, что:
f (x 1, x 2, …, x n) = a 1 x 1 + a 2 x 2 + a n x n.
Кусочно-линейная функция. Данная функция возникает как комбинация нескольких линейных производственных функций (т.е. технологий производства), каждая из которых используется на своем интервале. И для каждой комбинации факторов производства фирма выбирает ту технологию, которая дает наибольший выпуск:
.