Функции спроса, уравнение Слуцкого

Пусть р – цена товара X, q – цена товара Y, R – доход потре­бителя. Напомним, что функцией полезности U (x, у) называется функция, задающая степень полезности (для потребителя) набора товаров, состоящего из х единиц товара Х и у единиц товара Y. Будем считать, что потребитель может покупать только такие наборы (х, у), стоимость которых не превосходит его дохода, т.е. рх + qy £ R.

Определение. Пусть функция полезности U (x, y), при любых положительных р, q и R имеет на множестве

{ рх + qy £ R, x ³0, y ³0} (1.1.6)

единственную точку глобального максимума (х *; у *). Тогда х *; у * – функции от р, q и R: х * = x^D (p,q,R), y * = y^D (p,q,R).

Эти функции называются функциями спроса.

Смысл данного определения в том, что потребитель стремится к наибольшему удовлетворению от купленных им товаров при ограниченных средствах.

Для любого t > 0 функции спроса удовлетворяют следующим тождествам:

x^D (tp, tq, tR)= x^D (p, q, R), y^D (tp, tq, tR)= y^D (p, q, R).

Таким образом, функции спроса являются однородными функциями степени однородности 0. Следовательно, для дифференцируемых функций спроса выполняются тождества Эйлера:

px '_p+ qx '_q+ Rx '_R= 0, py '_p+ qy '_q+ Ry '_R= 0, (1.1.7)

а также следующие уравнения для эластичности:

Е _хр+ Е _хq+ Е _хR= 0, Е _ур+ Е _уq+ Е _уR= 0.

Функция Лагранжа запишется так:

L(х,у) = U(x,y) + l (R – рх – qy).

Необходимые условия условного экстрему­ма (условия Куна-Таккера) для функции L(x,у) будут следующие:

U ' _x(х,у) – l р= 0, U'_y(x,y) – l q = 0,

(R–px – qy)= 0, (1.1.8)

l ³ 0.

Если U'_x > 0 или U'_y > 0 (чаще всего выполняются оба условия), то тогда l можно исключить из системы. В итоге получаем систему уравнений

U ' _x(х,у) / U'_y(x,y) = р / q,

рx + qy= R. (1.1.9)

Первое выражение в (1.1.9) называют вторым законом Госсена. В общем виде он звучит так: максимум полезности обеспечивает такая структура покупок, при которой отношение предельной полезности каждого блага к его цене одинаково для всех благ.

Пpимер 1.1.4. Найти функции спроса x^D, y^D в случае функции полезности

U(x,у)= ln х + ln у – ln(x + у).

Решение. Для заданной функции полезности частные производные первого порядка таковы:

Система уравнений (1.1.9) имеет вид

U'_x / U'_x=y ² / x ² = p/q,

рx + qy= R.

Поэтому функции спроса таковы:

В заключение выведем уравнение Слуцкого для функций спроса. С этой целью преобразуем выражение q(x'_q + ух'_R). С учетом равенства

qx'_q = –рх'_р – Rх'_R, следующего из тождеств Эйлера (1.1.7), и равенства

qy = R – рх, вытекающего из бюджетного равенства рх + qy = R, имеем

q(x'_q + ух'_R) = –px'_p –рх ´ х'_R = – (px'_p + х) + х (1 – рх'_R) =

= (R – рх)'_p + x(R – рх)'_R = qy'_p + xqy'_R.

Разделив первое и последнее выражения на q, получим уравнение Слуцкого:

х'_q +ух'_R =у'_p +ху'_R. (1.1.10)

Уравнение Слуцкого можно умножить на R / xy. Тогда оно приобретает вид

b^-1 E_хq + E_xR =a^-1 E_yp + E_yR,

где Е_хq, Е_yp – перекрестные коэффициенты эластичности спроса, E_xR, E_уR – коэффициенты эластичности спроса по доходу, a =рх/R, b =qy/R – доли расходов на товары Х и Y в бюджете R..