Перекрестные коэффициенты эластичности

В 1.1.2 было введено понятие эластичности функции одной переменной. Аналогично вводится понятие эластичности фун­кции нескольких переменных. Пусть, например, z =f(x, у) – функция двух переменных.

Е_zx –коэффициент эластичности z по х показывает, на сколько процентов изменится z при увеличении х на один процент. Е_zу – коэффициент эластичности z по у показывает, на сколько процентов изменится z при увеличении y на один процент.

Из определения вытекают следующие формулы:

(1.1.2)

Пример 1.1.2. Найти коэффициенты эластичности по х и по у функции z= x^y в точке (2;3).

Согласно формулам (1.1.2) имеем

Е_zx (х, у) = x (ln z)' _x = x (y ln x)' _x= у,

E_zy (x, y) = y (ln z)' _y = y (y ln x)' _y = у ln х.

Следовательно, Е_zx (2,3) =3, Е_zy (2;3) = 3ln 2.

Формулы (1.1.2) полностью аналогичны формулам, которые использовались при выводе свойств 1 – 3 эластичности в 1.1.2. По­этому первые три свойства эластичности справедливы и в случае функции нескольких переменных. Четвертое и пятое свойства также сохраняются, но формы их записи становятся сложнее. Ос­тановимся подробнее на этих свойствах.

Свойство 4 '. Для функций z = f (x, у), х = j (t) и у = y (t) эластичность z no t в точке t ₀ находится по формуле

Е_zt = Е_zxЕ_xt + Е_zyЕ_yt, (1.1.3)

где Е_zx, Е_zy – эластичности z по х и у в точке (j (t ₀), y (t ₀)), а Е_xt, Е_yt – эластичности х и у по t в точке t ₀.

Для любой пары функций у ₁= f ₁(х ₁, х ₂ ), y ₂ =f ₂ (x ₁, x ₂ ) имеем 4 коэффициента эластичности, которые запишем в матрицу размера 2х2:

Элементы этой матрицы, расположенные вне главной диагонали, называются перекрестными коэффициентами эластичности.

Свойство 5'. Пусть х ₁= g ₁(y ₁, y ₂), x ₂= g ₂(y ₁, y ₂) – пара обратных функций для функций у ₁= f ₁(х ₁, х ₂ ), y ₂ =f ₂ (x ₁, x ₂ ). Тогда матрица коэффициентов эластичности Е_xy является об­ратной к матрице Е_yx.

Коэффициенты эластичности используются при анализе функ­ций спроса при любом числе различных товаров. В качестве при­мера рассмотрим случай с двумя товарами. Пусть х_i – количе­ство i -го товара, р_i – его цена (i = 1,2). Для пары дополняющих товаров (например, чай и сахар) или заменяющих товаров (напри­мер, масло и маргарин) естественно считать, что спрос на каж­дый товар зависит от обеих цен р ₁ и р ₂:

х ₁= D ₁(p ₁, p ₂), x ₂= D ₂(p ₁, p ₂) (1.1.4)

Предположим, что не только цены определяют спрос, но и, напро­тив, спрос определяет цены. Иными словами, будем считать, что систему (1.2.4) можно разрешить относительно р ₁ и р ₂ в следую­щем виде:

p ₁= p ₁(х ₁, х ₂), p ₂ =p ₂ (x ₁, x ₂). (1.1.5)

Системы (1.1.4) и (1.1.5) определяют две пары взаимно обратных функций. Согласно свойству 5' матрица коэффициентов эластич­ности цен по спросу может быть найдена как обратная матрица коэффициентов эластич­ности спроса по цене.

Пример 1.1.3. Пусть х ₁=10 p ₁^-1.2 p ₂^0.8, x ₂=12 p ₁^-0.9 p ₂^-0.7. (x ₁ – маргарин, x ₂ – масло). Коэффициенты эластичности составят матрицу

Спрос на маргарин неэластичный, на масло – эластичный, перекрестные коэффициенты эластичности показывают, что маргарин заменяет масло – повышение цены на масло на 1% ведет к повышению спроса на маргарин на 0.8%. Чтобы получить коэффициенты эластичности цены по спросу Е_ху,достаточно найти обратную матрицу Е_уx ^-1.