Практический блок

Пример 1. Пусть в результате корреляционно-регрессионного анализа (см. дисциплину «Эконометрика») получены следующие зависимости себестоимости продукции (у) от определяющих факторов (табл. 1.1.1.):

Таблица 1.1.1.

Объем производства (х 1)	у (х 1)=0,62+58,74∙(1/ х 1) (гипербола)	2,64
Трудоемкость единицы продукции (х 2)	у (х 2)=9,3+9,83∙ х 2 (линейная функция)	1,38
Оптовая цена за 1т. энергоносителя (х 3)	у (х 3)=11,75+ х 31,6281 (степенная функция)	1,503
Доля прибыли, изымаемая государством (х 4)	у (х 4)=14,87∙1,016 х 4 (показательная функция)	26,3

Тогда получаем:

a) для гиперболы у = b + a / x

b) для линейной функции у = b + ax

c) для степенной функции у = bx^а

d) для показательной функции у = bа^х

Из примера видно, что в наибольшей степени себестоимость зависит от оптовой цены за 1т. энергоносителя (1.63), затем от объемов производства (-0.973, т.е. с ростом объемов производства на 1% себестоимость падает почти на 1%).

Пример 2. При заданном бюджете М и ценах факторов производства r_L и r_K фирма работает по технологии, отображаемой функцией Q = L^αK^β.

1. При каких объемах труда и капитала объем выпуска фирмы будет максимальным?

2. Как изменится капиталовооруженность труда, если:

а – бюджет фирмы возрастет в 1,5 раза;

б – цена труда возрастет в 1,5 раза?

Решение.

1. Из условия равновесия фирмы следует, что

В соответствии с бюджетным ограничением

М= r_LL+ r_KK=r_LL+ r_K

Отсюда максимальныe объемы труда и капитала будут:

2а. Из условия равновесия фирмы следует, что капиталовооруженность труда не зависит от бюджета фирмы.

2б. Капиталовооруженность труда возрастет в 1,5 раза.

Пример 3. Продукция производится по технологии, отображаемой функцией Q = L^0,25 K^0,5. Цены факторов производства равны: r_L = 1; r_K = 3.

Определить минимум средних затрат в коротком периоде при использовании следующих объемов капитала: K = 10; 15; 20. Построить функции АС для каждого из указанных объемов капитала.

Решение.

При заданной технологии L =Q⁴/K². Поэтому суммарные издержки TC=1∙Q⁴/K² +3K, откуда следует, что средние затраты будут равны

AC= Q³/K² +3K/Q.

Минимум АС определяется из условия

AC'=

При K=10 АС_min =7,11; при K=15 АС_min=7,87; при K = 20 АС_min = 8,46.

Функции АС для каждого из указанных объемов капитала определяются по формулам:

АС₁₀ = Q³/100 +3K/10, АС₁₅ = Q³/225 +K/5, АС₂₀ = Q³/400 +3K/20.

Графики этих функций предлагается построить самостоятельно.

 

Пример 4. Бюджет потребителя 120 ден. ед., а его функция полезности

U= .

Продукт А производится по технологии, отображаемой функцией Q_A= , а продукт В – Q_B= . Факторы производства фирмы покупают по неизменным ценам r_L = 2; r_K = 8.

Какую максимальную полезность в этих условиях может достичь потребитель?

Решение.

Воспользуемся вторым законом Госсена (1.1.9). При заданной функции полезности получим =0.5 U/Q_A, =0.25 U/Q_B и 0.5 Q_B/ 0,25 Q_A = P_A / P_В, бюджетное ограничение Q_A∙ P_A + Q_В∙ P_В =120. Откуда функции спроса индивида на блага получают следующий вид: =80 /P_A; = 40 /P_B.

При заданной технологии и ценах факторов производства фирма А имеет а в соответствии с условием равновесия фирмы 8K _A = 2L _A → K _A = 0,25L _A.

Из этих двух уравнений находим, что для производства продукции с минимальными затратами фирма А должна использовать L _A = 2 и K _A = 0,5 . При этом общие затраты равны TC _A = 2∙2 + 8∙0,5 = 8 ; предельные затраты MC_A = 16 Q_A = P_A, откуда = P_A /16, а фирма В имеет:

также K _В = 0,25L _В. Из этих двух уравнений находим, что для производства продукции с минимальными затратами фирма В должна использовать L _В = 2 и K _В = 0,5 . При этом общие затраты равны TC _В = 2∙2 + 8∙0,5 = 8 Q_B; предельные затраты MC_B = 8 = P_B.

Равновесие объемов спроса и предложения блага А достигается при

80/ P_A = P_A /16 → P_A =35,78; Q_A =2,236.

Благо В предлагается по неизменной цене Р_В = 8, в этом случае индивид купит Q_В = 40/8 = 5. Следовательно, потребитель может достичь максимальной полезности U = 2,236^0,5 ∙5^0,25 = 2,236.

 

Пример 5. Предположим, что необходимо оценить работу некоторой отрасли, если известен объем производства отрасли Y, затраты трудовых ресурсов L и объем используемого капитала К:

№n/n	Y	K	L
			104.8
			117.2
			121.9
			115.6
			134.2
			139.9
			123.2
			142.7
			148.1
			156.2
			152.2
			155.8
			197.5
			201.1
			195.9
			194.4
			146.4
			160.5