Электрическом контуре

 

Цель работы: изучение вынужденных колебаний в последовательном электрическом контуре, определение добротности контура и внутреннего сопротивления генератора синусоидальных колебаний.

Приборы и принадлежности: колебательный контур, генератор синусоидальных колебаний, электронный осциллограф, соединительные провода.

 

Введение

 

Вынужденные электромагнитные колебания в электрическом контуре, содержащем емкость C, индуктивность L и активное сопротивление R (рис. 1), можно вызвать, если включить последовательно с элементами контура источник тока, э. д. с. которого изменяется по гармоническому закону

 

E = E ₀ cos W t. (1)

 

Для получения дифференциального уравнения, описывающего вынужденные колебания, запишем для этого контура закон Ома:

 

IR + U = E - L , (2)

где U – напряжение на конденсаторе.

Поскольку U = q/C, получаем:

 

I = = C ; = C .

 

Подставим эти выражения в уравнение (2):

 

LC + CR + U = E ₀ cos W t.

Разделив обе части полученного равенства на LC и введя обозначения b = и w₀² = , получим дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний:

 

+ 2b + w₀² U = E ₀w₀² cos W t, (3)

 

в котором b – коэффициент затухания; w₀ – собственная циклическая частота колебаний (при R = 0).

Решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

 

U = U ₀ cos (W t - y), (4)

где:

U ₀ = , (5)

tg y = . (6)

 

Таким образом, амплитуда U ₀ и начальная фаза y вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе зависят от частоты вынуждающей э. д. с.

Исследуя уравнение (5) на экстремум, можно показать, что разность потенциалов на конденсаторе достигнет максимума при частоте вынуждающей э. д. с., равной

 

W_РЕЗ = . (7)

 

При этом максимальное значение амплитуды составляет

U _{0 РЕЗ} = . (8)

 

Соотношение (8) имеет смысл только при w₀² > b².

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний напряжения при изменении частоты вынуждающей э. д. с. называется резонансом. Частота, при которой наступает это явление, называется резонансной частотой.

 

Кривая зависимости U ₀ от W при заданном значении коэффициента затухания называется резонансной кривой. На рис. 2 представлено семейство резонансных кривых 1, 2, 3, соответствующих различным значениям коэффициента затухания b₁, b₂, b₃, при этом b₃ > b₂ > b₁.

Как следует из уравнения (5) и рис. 2, U ₀ = E ₀ при любом значении коэффициента затухания, если W = 0. Кроме того, резонансная частота при увеличении коэффициента затухания смещается в сторону меньших значений, а амплитуда напряжения, соответствующего резонансу, убывает с увеличением b. Следует отметить, что максимальное значение тока в рассматриваемом контуре достигается при одной и той же частоте W = w₀ при любых значениях b.

Остроту резонансных кривых характеризует добротность контура. При слабом затухании добротность контура Q можно определить как величину, равную произведению 2p на отношение запасенной в катушке индуктивности энергии W ₀ к энергии тепловых потерь W _R в контуре за время, равное периоду T:

 

Q = 2p .