Введение. На рис. 1 изображена электрическая схема простейшего колебательного контура с сосредоточенными параметрами

 

На рис. 1 изображена электрическая схема простейшего колебательного контура с сосредоточенными параметрами, содержащего последовательно соединённые конденсатор электроёмкостью C, катушку индуктивностью L и резистор с активным сопротивлением R.

Если в какой-либо момент времени одной из обкладок конденсатора сообщить электрический заряд или создать условия для возникновения в катушке электродвижущей силы (э. д. с.) индукции, а затем отключить источники возбуждения, в контуре начнутся свободные электромагнитные колебания.

Исследуем характер колебаний, возникающих в идеализированном колебательном контуре в отсутствие сопротивления R = 0 при сообщении конденсатору заряда q ₀.

Вначале энергия электрического поля конденсатора емкостью C равна:

 

W _C = q ₀²/2 C = CU ₀²/2,

 

где U ₀ = q ₀/ С - максимальнаяразность потенциалов на обкладках конденсатора. Под действием электрического поля начинается движение зарядов и конденсатор разряжается. В контуре возникает электрический ток:

 

I (t) = – dq (t)/ dt, (1)

 

где dq (t) – изменение заряда на обкладках конденсатора. Знак минус показывает, что возникновение тока сопровождается уменьшением заряда на обкладках конденсатора (dq < 0).

Энергия электрического поля конденсатора уменьшается, переходя в энергию магнитного поля, создаваемого током в катушке. Возрастание тока (dI > 0) в катушке индуктивностью L приводит к появлению в ней электродвижущей силы (э. д. с.) самоиндукции E (t), препятствующей изменению тока (E < 0):

 

E (t) = – L (dI/dt).

 

При полном разряде конденсатора его электрическое поле исчезает, а ток в контуре, наоборот, достигает максимального значения I ₀. Максимального значения достигает и энергия магнитного поля в катушке:

W _L = LI ₀²/2.

 

С этого момента начинается перезарядка конденсатора под действием э. д. с. самоиндукции. Ток в контуре начинает убывать, вследствие чего э. д. с. самоиндукции изменяет знак, препятствуя убыванию тока. Энергия магнитного поля катушки уменьшается, а энергия электрического поля конденсатора растет, стремясь к максимальному значению, которому соответствует полная перезарядка конденсатора. В тот момент времени мгновенные значения электрического тока и энергии магнитного поля обращаются в нуль. Далее процесс повторяется в обратном порядке. В контуре устанавливаются незатухающие электромагнитные колебания.

Интервал времени между двумя последовательными максимальными значениями колеблющейся величины называется периодом колебаний T.

Заметим, что описанные выше колебания происходили бы бесконечно долго лишь при отсутствии испускания таким контуром электромагнитного излучения.

Если колебательный контур содержит активное сопротивление R, то при протекании по нему тока часть общей энергии контура W выделяется в виде тепла:

Q = W _R = I ² Rt.

При этом уменьшаются с течением времени амплитудные значения тока в контуре и разности потенциалов на обкладках конденсатора. Колебания затухают.

Временная зависимость разности потенциалов на обкладках конденсатора U (t) = j₁ - j₂ наблюдается в данной работе на экране осциллографа. Эту зависимость можно получить теоретическим путем, используя закон Ома для участка цепи, содержащей э.д.с. Для мгновенных значений токов и напряжений в таком контуре закон Ома запишется в виде:

 

T

IR =j₁ – j₂ + E = U – L (dI/dt). (2)

 

Преобразуем это уравнение, используя формулу (1) и соотношение q = CU. Тогда уравнение (2) примет вид:

 

LC (d ² U/dt ²) + RC (dU/dt) + U =0 (3)

 

Разделив обе части уравнения (3) на LC и введя обозначения

 

R/ 2 L = β, 1/ LC = w₀²,

 

где w₀ называется собственной циклической (круговой) частотой контура, а b – коэффициентом затухания, получим дифференциальное уравнение:

 

d ² U/dt ² + 2b(dU/dt) + w₀² U = 0, (4)

 

решение которого дает искомую зависимость U (t).

Следует отметить, что аналогичные дифференциальные уравнения могут быть получены для различного рода механических, электромеханических и других колебательных систем, в которых отсутствуют внешние вынуждающие воздействия, а силы сопротивления при малых скоростях движения (скоростях изменения параметра системы, совершающей колебания) линейно зависят от скорости.

При этом энергия, внесенная в систему извне, непрерывно уменьшается в процессе колебаний, переходя, в конечном счете, в тепловую энергию. Уравнение (4) – линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. В частном случае, когда b < w₀, его решение имеет вид:

 

U (t) = U ₀ e^{- b t}cos (w t + j₀), (5)

 

где j₀ – начальная фаза колебаний; w – циклическая частота затухающих колебаний:

w = = (6)

 

На рис. 2 приведены примеры графиков зависимости U (t) для различных типов колебаний в контуре.

Выражение (5) описывает затухающий колебательный процесс (рис. 2б) с периодом колебаний

T = = . (7)

 

Амплитудой затухающих колебаний называют величину

 

A (t) = U ₀ e^{- b t}, (8)

 

где U ₀ – максимально возможное значение амплитуды напряжения:

 

U ₀= A (t = 0).

 

Вообще говоря, при b¹ 0 разность потенциалов U (t) не является строго периодической функцией времени: U (t) ¹ U (t + T). Периодом колебаний в этом случае принято считать минимальные промежутки времени между наибольшими значениями напряжения одного знака.

Как следует из формул (5) и (8), изменение амплитуды колебаний зависит от величины коэффициента затухания b. Согласно (8) коэффициент затухания есть физическая величина, обратная времени t, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз:

 

U ₀/ A (t) = e при t = t= 1/b.

 

Таким образом, характер колебательного процесса определяется соотношениями между электрическими параметрами контура R, L и C. Так, при b = 0 в контуре устанавливаются свободные незатухающие гармонические (колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса) колебания (рис. 2а):

 

U (t) = U ₀ cos (w₀ t + j₀)

 

с периодом T ₀ = 2p / w₀ = 2p (формула У.Томсона).

При критическом сопротивлении (см. формулы (6) и (7))

 

R = R _КР = 2

b = w₀ и период колебаний становится бесконечным. В контуре возникает апериодический процесс, когда напряжение на конденсаторе постепенно уменьшается, не совершая при этом колебаний (рис. 2в).

При R < R _КР (т. е. при b < w₀) в контуре реализуется затухающий колебательный процесс (рис. 2б).

При R > R _КР (b > w₀) циклическая частота wи период колебаний Т становятся мнимыми величинами. Это соответствует апериодическому процессу разряда конденсатора на большое активное сопротивление (рис. 2г).

Для характеристики затухающих колебаний наряду с коэффициентом затухания b используются и другие параметры: логарифмический декремент d и добротность контура Q.

Логарифмический декремент вводится как натуральный логарифм отношения амплитуд колебаний, разделенных во времени на период Т (рис. 2):

 

d = ln = ln = b T = T /t = 1/ N, (9)

 

т.е. он равен величине, обратной числу колебаний (периодов), за которое амплитуда уменьшается в е раз (N = t/ T).

Добротность контура Q – важный параметр, характеризующий быстроту потери энергии, запасенной в контуре. Добротность контура показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе при резонансе превышает амплитуду внешней прикладываемой электродвижущей силы, и определяется формулой:

Q = w₀/2b.

 

Для колебаний при малых b частота затухающих колебаний ω приблизительно равна собственной частоте колебаний w₀ (см. формулу (6)) и тогда, учитывая формулу (9), величина добротности:

 

Q = w₀/2b ≈ w/2b = 2p/2β T = p/d.

 

Для колебательного контура:

 

b = R /2 L, и w₀ = 1/ .

 

Добротность в этом случае:

 

Q = w₀/2b = = r /R. (10)

 

Физическую величину r = называют волновым или характеристическим сопротивлением колебательного контура.

Из соотношения (10) следует, что контур, имеющий большое активное сопротивление, обладает малой добротностью и интенсивно теряет электромагнитную энергию, колебания быстро затухают.

Все рассмотренные процессы относятся к колебательному контуру с сосредоточенными параметрами R, L и C. В реальных колебательных контурах нельзя выделить ни одного участка цепи, не обладающего активным сопротивлением, индуктивностью и емкостью, т. е. параметры R, L и С не являются сосредоточенными, а распределены по участкам цепи, что усложняет анализ колебательных процессов. При этом также необходимо учитывать входные электрические параметры измерительных приборов.