Лекции.Орг


Поиск:




Исследование систем линейных уравнений




Рассмотрим систему m линейных уравнений c n неизвестными (1). Для неё

- основная матрица;

 

- расширенная матрица.

Так как ранг матрицы равен максимальному числу её линейно

независимых строк (по теореме о ранге матрицы), то, можно сделать следующий вывод.

Если строки расширенной матрицы , а значит и уравнения системы (1), линейно независимы, то ранг r матрицы равен числу её уравнений: r = m, если линейно зависимы, то r < m.

Следующие теоремы дают ответы на два важных вопроса:

1) В каком случае система (1) совместна?

2) Если система (1) совместна, то сколько решений она будет иметь?

 

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Для совместной системы число r = r (А) = r () называется рангом системы.

Теорема о числе решений. Пусть ранг совместной системы линейных уравнений равен r, а число неизвестных в системе равно n. Если r = n, то система имеет единственное решение; если r < n, то система имеет бесконечное множество решений.

Результаты исследования системы (1) можно представить в виде схемы (рис. 2).

Рис. 2 Исследование систем линейных уравнений

 

Пусть r < n, тогда r переменных х 1, х 2, …, хr называются основными или базисными, если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные n - r переменных называются свободными.

Решение системы (1), в котором все nr неосновных переменных равны нулю, называется базисным.





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-09-20; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1951 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Есть только один способ избежать критики: ничего не делайте, ничего не говорите и будьте никем. © Аристотель
==> читать все изречения...

600 - | 548 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.009 с.