Исследование систем линейных уравнений

Рассмотрим систему m линейных уравнений c n неизвестными (1). Для неё

- основная матрица;

- расширенная матрица.

Так как ранг матрицы равен максимальному числу её линейно

независимых строк (по теореме о ранге матрицы), то, можно сделать следующий вывод.

Если строки расширенной матрицы , а значит и уравнения системы (1), линейно независимы, то ранг r матрицы равен числу её уравнений: r = m, если линейно зависимы, то r < m.

Следующие теоремы дают ответы на два важных вопроса:

1) В каком случае система (1) совместна?

2) Если система (1) совместна, то сколько решений она будет иметь?

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Для совместной системы число r = r (А) = r () называется рангом системы.

Теорема о числе решений. Пусть ранг совместной системы линейных уравнений равен r, а число неизвестных в системе равно n. Если r = n, то система имеет единственное решение; если r < n, то система имеет бесконечное множество решений.

Результаты исследования системы (1) можно представить в виде схемы (рис. 2).

Рис. 2 Исследование систем линейных уравнений

Пусть r < n, тогда r переменных х ₁, х ₂, …, х_r называются основными или базисными, если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные n - r переменных называются свободными.

Решение системы (1), в котором все n – r неосновных переменных равны нулю, называется базисным.