Для нахождения емкости конденсатора можно использовать два способа

1 способ (Общий).

1. Мысленно заряжаем одну из обкладок положительным зарядом Q, другую отрицательным зарядом –Q.

2. Рассчитываем напряженность поля между обкладками конденсатора (обычно по теореме Гаусса).

3. Используя связь между потенциалом и напряженностью E_l = , интегрированием находим напряжение на конденсаторе U.

4. Рассчитываем по формуле (1.2) емкость конденсатора.

2-й способ (Частный, используя формулу емкости плоского конденсатора ).

1. Разбиваем пространство между обкладками конденсатора на элементарные слои толщины dr, в пределах которого диэлектрическая проницаемость среды ε и электрическое поле заряженного конденсатора будет постоянно по модулю и перпендикулярно поверхности слоя (это необходимо для применения формулы плоского конденсатора).

2. Находим емкость элементарного слоя:

.

3. Для расчета емкости конденсатора применяем формулы:

- для параллельно соединенных слоев.

- для последовательно соединенных слоев.

 

Пример 2.5. Сферический конденсатор с радиусами обкладок а и b, где а < b, заполнен изотропным, но неоднородным диэлектриком, проницаемость которого зави­сит от расстояния r до центра системы как ε = α/r, α — по­стоянная. Найти емкость такого конденсатора.

Решение. 1-й способ. Согласно определению емкости конденсатора (С = Q/U) задача сводится к нахождению разности потенциа­лов U при заданном заряде Q:

,

где предполагается, что внутренняя обкладка имеет заряд Q > 0. Определим Е с помощью теоремы Гаусса для вектора :

Ф_D = D·4πr² = Q, где а ≤ r ≤ b.

Следовательно, напряженность поля:

.

Откуда

.

2-й способ.Исходя из сферической симметрии поля между обкладками конденсатора, разбиваем пространство между обкладками на элементарные сферические слои толщины dr. Тогда емкость такого слоя:

.

Так как все элементарные слои соединены последовательно, то

.

Окончательно, получаем

.

Пример 2.6. Определить емкость участка единичной длины двухпроводной линии. Радиус сечения каждого провода r, расстояние между осями проводов l (r << l).

Решение. Мысленно зарядим провода зарядами с линейной плотностью τ и –τ. Предположим, что другие тела находятся столь далеко от линии, что их влиянием на электрическое поле между проводами можно пренебречь. Рассчитаем напряженность поля между проводами в произвольной точке А, находящейся на расстоянии x от левого провода (рис. 11).

 

Рис. 11

Используя принцип суперпозиций () и формулу напряженности электрического поля прямой бесконечной нити, получаем:

Учитывая связь между напряженностью и потенциалом, получаем:

Так как, по условию r << l, то

Определяем емкость участка единичной длины двухпроводной линии:

 

Задачи для самостоятельного решения.

Общая задача электростатики. Метод изображений.

2.1. Заряженный проводник находится внутри замкнутой металлической оболочки. 1) Изменится ли электрическое поле внутри оболочки, если извне поднести к ней еще один заряженный проводник? 2) Будет ли изменяться поле внутри и вне оболочки, если перемещать внутренний проводник?

2.2. Металлически шар радиусом R₁, несущий заряд Q, окружен расположенным концентрически полым металлическим незаряженным шаром с внутренним радиусом R₂ и внешним R₃. Построить графики зависимости напряженности поля Е от расстояния r до центpa шаров. Найти потенциалы шаров, если в бесконечности потенциал равен нулю. Изменятся ли потенциалы шаров, если внешний шар заземлить?

2.3. Три концентрические тонкие металлические сферы радиусами R₁< R₂ < R₃, находящиеся в вакууме, заряжены соответственно зарядами Q₁, Q₂, Q₃. В некоторой точке А между первой и второй сферами измеряют потенциал. Найти изменение потенциала в этой точке, если вторую и третью сферы замкнуть между собой.

2.4. Вычислить распределение потенциала в плоском конденсаторе толщиной d, если одна обкладка заземлена, другая находится при потенциале φ₀, а в пространстве между ними распределен заряд с постоянной объемной плотностью ρ.

2.5. В пространстве между пластинами плоского конденсатора имеется однородный поток электронов, который создает равномерный объемный заряд. Расстояние между пластинами равно d. Потенциал одной из пластин равен φ₀. При каком значении объемной плотности заряда ρ потенциал и напряженность поля у другой пластины равны нулю?

2.6. Внутренняя обкладка цилиндрического конденсатора радиусом R₂ имеет потенциал φ₀. Внешняя обкладка радиусом R₁; заземлена. Между обкладками конденсатора имеется заряд с постоянной объемной плотностью ρ. Найти распределение потенциала φ между обкладками конденсатора.

2.7. Оценить разность потенциалов V между головной и хвостовой частями стального керна бронебойного снаряда, возникающую вследствие его торможения в преграде. Принять, что керн длиной L = 25 см потерял скорость, пробив броню толщиной H = 5 см. Скорость снаряда в момент соприкосновения с броней v₀ = 1000 м/с.

2.8. На расстоянии h от проводящей бесконечной плоскости находится точечный заряд +q. Определить напряженность поля Е в точке А (рис. 6), отстоящей от плоскости и от заряда на расстояние h.

2.9. Найти поверхностную плотность зарядов, индуцированных зарядом q на поверхности бесконечной металлической плоскости. Заряд находится на расстоянии R от плоскости.

2.10. Точечные заряды Q₁ и Q₂ находятся на расстоянии R друг от друга. Определить величины и направления сил, которые будут действовать на эти заряды после того, как посередине между ними будет введена бесконечная металлическая пластина толщиной R/2.

2.11. Найти силу, действующую на точечный заряд q, помещенный на биссектрисе прямого двугранного угла между двумя проводящими плоскостями. Расстояние между зарядом q и вершиной двугранного угла О равно d.

2.12. Найти силу притяжения точечного электрического диполя с дипольным моментом р = 4•10^-10 Кл*см к бесконечной металлической пластине, ближайшая точка которой находится от диполя на расстоянии L₀ = 1 см. Ось диполя перпендикулярна к пластине. Определить также работу, которую надо затратить, чтобы отодвинуть диполь от поверхности пластины с расстояния L₀ = 1 см до расстояния L = 2 см.

2.13. Две взаимно перпендикулярные проводящие плоскости образуют двугранный угол. На биссектрисе этого угла на расстоянии а от вершины помещен электрический диполь с моментом р. Ось диполя направлена к вершине угла. Найти силу, действующую на диполь.

2.14. Над горизонтальным листом металла вертикально расположен равномерно заряженный тонкий стержень длиной l = 1 см с полным зарядом Q = 10^-8 Кл. Нижняя точка стержня удалена от листа на расстояние Н = 1 см. Найти плотность σ индуцированного заряда в точке, расположенной на поверхности листа непосредственно под стержнем.

2.15. Полый шар радиусом R имеет заряд Q; в шаре имеется малое отверстие. Как будет меняться потенциал шара, если точечный заряд q перемещать из бесконечности через это отверстие внутрь шара?

Электростатическое поле в диэлектриках

2.16. На сколько отличается от единицы диэлектрическая постоянная ε «идеального газа», состоящего из большого количества проводящих шариков радиусом r. Плотность (концентрация) шариков п мала, так что r³n << 1.

2.17. В диэлектрической среде с диэлектрической проницаемостью ε имеется однородное поле напряженностью Е. Внутри среды находится сферическая полость. Найти в центре сферы напряженность Е' поля, созданного поляризационными зарядами, индуцированными на поверхности сферы, считая, что вектор поляризации всюду (за исключением полости) имеет постоянное значение.

Указание. Поверхностная плотность поляризационных зарядов σ на границе диэлектрика равна величине поляризации Р, умноженной на cos Θ, где Θ — угол между нормалью n к поверхности и вектором Р. Найти напряженность поля в центре сферы, создаваемую поляризационным зарядом на элементе поверхности сферы, и проинтегрировать ее затем по всей сфере.

2.18. Используя результат задачи 3.15, получить формулу Лоренц—Лорентца для плотного диэлектрика , где β — поляризуемость изолированной молекулы во внешнем поле, a n — концентрация молекул.

2.19. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε = 4. Разность потенциалов между обкладками V= 300 В, расстояние между ними d = 1 см. В диэлектрике имеются два воздушных пу­зырька радиусом r = 1 мм, расстояние между ними l = 1 см, и они расположены в плоскости, параллельной обкладкам. Оценить величину и направление силы электростатического взаимодействия между пузырьками, полагая, что наличие пузырьков не изменяет однородной поляризации диэлектрика и равномерного распределения заряда на обкладках.

2.20. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε = 4. Разность потенциалов между обкладками V =1200 В, расстояние между ними d = 4 см. В диэлектрике имеются два воздушных пузырька радиусом r = 1 мм, расстояние между ними l = 1 см, и они расположены вдоль прямой, перпендикулярной обкладкам. Оценить величину и направление силы электростатического взаимодействия между пузырьками, полагая, что наличие пузырьков не изменяет однородной поляризации диэлектрика и равномерного распределения заряда на обкладках.

2.21. В пространство, первоначально занятое однородным электрическим полем E₀, вносят длинный диэлектрический цилиндр так, что его ось перпендикулярна начальному полю E₀. При каких условиях диэлектрик поляризуется однородно? Найти напряженность поля E внутри цилиндра и вектор поляризации диэлектрика. Проницаемость диэлектрика ε.

2.22. В центре диэлектрического шара радиусом R с проницаемостью ε₁ помещен точечный заряд q. Шар окружен безграничным диэлектриком с проницаемостью ε₂. Определить поверхностную плотность поляризационных зарядов на границе раздела диэлектриков.

2.23. В плоский конденсатор, на пластинах которого распределен заряд с поверхностной плотностью σ, вставляется диэлектрик, заряженный положительным пространственным зарядом так, что объемная плотность заряда изменяется от 0 у одной пластины (положительной) до ρ₀ у другой по закону ρ(х) = σ x/d², где d — расстояние между пластинами. Найти распределение поля Е в конденсаторе, если диэлектрическая проницаемость диэлектрика е.

2.24. Найти напряженность электрического поля между обкладками длинного цилиндрического конденсатора, пространство между которыми заполнено однородными диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями ε₁ и ε₂. Диэлектрики граничат между собой вдоль плоскостей, пересекающихся на оси цилиндра О. Двугранные углы, образуемые ими в диэлектриках, равны соответственно φ₁ и φ₂ (φ₁ + φ₂ = 2π). Длина конденсатора равна l, а заряд на внутренней обкладке Q. Найти также емкость С конденсатора, если радиусы цилиндрических обкладок равны R₁ и R₂ (R₁ < R₂).

2.25. Сферический конденсатор заполнен диэлектриком, прони­цаемость которого изменяется по закону ε = ε₁R₁²/r², где R₁ — радиус внутренней сферы, r — переменный радиус. Найти объемное распределение связанных зарядов в диэлектрике, если к обкладкам приложена разность потенциалов V₀. Радиус внешней сферы R₂ =l,25 R₁.

2.26. Длинный цилиндрический конденсатор заполнен диэлект-риком, проницаемость которого изменяется по закону ε = ε₁R₁ / r, где R₁ — радиус внутреннего цилиндра, r — переменный радиус. Пренебрегая краевыми эффектами, найти объемное распределение связанных зарядов в диэлектрике, если к обкладкам приложена разность потенциалов V₀. Радиус внешнего цилиндра R₂ =l,25 R₁.

2.27. Проводящий шар помещен в однородную изотропную диэлектрическую среду с проницаемостью ε. Вне шара на расстоянии R от его центра находится точечный заряд q. Определить потенциал шара относительно бесконечности.

2.28. Пустотелый металлический шар, заряд которого q, а радиус r, плавает в жидкости с диэлектрической проницаемостью ε₁ так, что его центр находится на уровне поверхности жидкости. Найти плотность свободных зарядов на поверхности шара. Диэлектрическая проницаемость воздуха ε.

2.29. Диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε заполняет полупространство. На расстоянии L от плоской границы диэлектрика находится точечный заряд q. Найти силу, действующую на заряд, и распределение заряда σ по поверхности диэлектрика.

Электроемкость. Конденсаторы

2.30. Металлический шар радиусом 5 см окружен шаровым слоем диэлектрика (ε = 7) толщиной 1 см и помещен концентрично в металлической сфере с внутренним радиусом 7 см. Чему равна емкость С такого конденсатора?

2.31. В плоский конденсатор введена пластина из оптического стекла (ε = 9) так, что остался воздушный зазор d₁ = 1 мм. Расстояние между обкладками конденсатора d = 1 см. К конденсатору приложена разность потенциалов V = 100 В. Какой будет разность потенциалов U, если после отключения конденсатора от источника напряжения убрать стеклянную пластинку?

2.32. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено диэлектриком, диэлектрическая проницаемость которого линейно меняется от значения ε₁ у одной пластины до значения ε₂ < ε₁ у другой. Расстояние между пластинами d, площадь каждой из них равна S. Найти емкость С конденсатора.

2.33. В плоский конденсатор, на пластинах которого распределен заряд с поверхностной плотностью σ, вставляется диэлектрик, заряженный положительным пространственным зарядом так, что объемная плотность заряда изменяется от 0 у одной пластины (положительной) до ρ₀ у другой по закону ρ(х) = σx/d², где d — расстояние между пластинами. Найти распределение поля Е в конденсаторе, если диэлектрическая проницаемость диэлектрика ε.

 

3. Энергия электростатического поля

3.1 Электрическая энергия системы зарядов

Энергия взаимодействия. Энергия взаимодействия системы из произвольного числа точечных зарядов определяется:

(3.1)

где - энергия взаимодействия i -го заряда со всеми остальными; - i -й заряд системы; φ_i – потенциал, создаваемый в месте нахождения i -го заряда всеми остальными зарядами системы.

q q q q рис. 12

Пример 3.1. Четыре одинаковых точечных заряда q находятся в вершинах тетраэдра с ребром а (рис. 12). Найти энергию взаимодействия зарядов этой системы.

 

Решение. Энергия взаимодействия каждой пары зарядов здесь одинакова и равна Всего таких взаимодействую­щих пар, как видно из рисунка, шесть, поэтому энергия взаимодействия всех точечных зарядов данной системы

Полная энергия взаимодействия. Если заряды распределены непрерывно, то, разлагая систему зарядов на совокупность элементарных зарядов dq и переходя от суммирования в (3.1) к интегрированию, получаем

(3.2)

где φ — потенциал, создаваемый всеми зарядами системы в элементе объемом dV.

3.2. Энергия заряженных проводника и конденсатора

Энергия уединенного проводника. Пусть проводник имеет заряд q и потенциал φ. Поскольку значение φ во всех точках, где имеется заряд, одинаково, φ можно вынести из-под знака интеграла в формуле (3.2). Тогда оставшийся интеграл есть не что иное, как заряд q на проводнике, и

(3.3)

Энергия конденсатора. Пусть q и φ₊ — заряд и потенциал положительно заряженной обкладки конденсатора. Согласно формуле (3.2) интеграл можно разбить на две части — для одной и другой обкладок. Тогда

где q= q_ = -q₊ — заряд конденсатора, U — разность потенциалов на его обкладках. Приняв во внимание, что С = q/U, получим следующие выражения для энергии конденсатора:

(3.4)

Здесь надо заметить, что эти формулы определяют полную энергию взаимодействия: не только энергию взаимодействия зарядов одной обкладки с зарядами другой, но и энергию взаимодействия зарядов внутри каждой обкладки.

3.3. Энергия электрического поля

О локализации энергии. Формула (3.2) определяет электрическую энергию W любой системы через заряды и потен­циалы. Но, энергию W можно выразить также и через величину, характеризующую само электрическое поле, — через напряженность Е. Убедимся в этом сначала на простейшем примере плоского конденсатора, пренебрегая искажением поля у краев пластин (краевым эффектом). Подстановка в формулу W=CU²/2 выражения С = εε₀S/d дает

Так как U/d = Е и Sd =V (объем между обкладками конденсатора), то полученная формула справедлива для однородного поля, заполняющего объем V. В общей теории доказывается, что энергию W можно выразить через Е (в случае если диэлектрик изотропный) по формуле

(3.5)

где - объемной плотность энергии электростатического поля. Подынтегральное выражение в этом уравнении имеет смысл энергии, заключенной в объеме dV. Это подводит нас к физической идее о локализации энергии в самом поле. Данное предположение нашло опытное подтверждение в области переменных во времени полей. Только там встречаются явления, которые можно истолковать на основе идеи о локализации энергии в поле. Именно переменные поля могут существовать независимо от возбудивших их электрических зарядов и распространяться в пространстве в виде электромагнитных волн. И опыт показывает, что электромагнитные волны переносят энергию — уже это заставляет нас признать, что носителем энергии является само поле.

Пример 3.3. Точечный заряд q находится в центре шарового слоя из однородного диэлектрика с проницаемостью ε. Внутренний и наружный радиусы слоя равны соответственно а и b. Найти электрическую энергию, заключенную в данном, диэлектрическом слое.

Решение. Мысленно выделим в диэлектрике очень тонкий концентрический сферический слой радиусом от r до r + dr. Энергия, локализованная в этом слое:

где Е = . Проинтегрировав предыдущее выраже­ние по r от а до b, получим окончательно

 

 

Задачи для самостоятельного решения

3.1. Диэлектрический диск радиусом R = 10 см и высотой H =10 см с диэлектрической проницаемостью ε =5 равномерно вращается вокруг своей оси, делая п = 100 об/с. Определить объемную плотность заряда ρ внутри цилиндра, возникающую из-за вращения, а также полный заряд q на поверхности цилиндра. Масса электрона т = 9,1 • 10^-28 г.

3.2. Вычислить электростатическую энергию заряда на шаре радиусом R в вакууме, если заряд шара q равномерно распределен по его поверхности.

3.3. Вычислить электростатическую энергию для шара, заряд которого равномерно распределен по его объему.

3.4. В центры двух удаленных друг от друга металлических сфер с внешними радиусами R₁ = R, R₂ =3R и толщиной стенки Δ = R/3 помещены заряды q₁ = q, q₂ =2q. Найти работу, необходимую для того, чтобы поменять эти заряды местами.

3.5. В центры двух удаленных друг от друга диэлектрических шаров с радиусами R₁ = R, R₂. = 12 R? и проницаемостью ε помещены заряды q₁ = q, q₂ =2q. Найти работу, необходимую для того, чтобы поменять эти заряды местами.

3.6. Диск радиусом R и толщиной l (l << R) из равномерно заряженного диэлектрика с объемной плотностью заряда ρ лежит на большой металлической заземленной пластине. Вычислить энергию W электростатического поля диска. Диэлектрическую проницаемость диэлектрика положить равной ε = 1. Краевыми эффектами пренебречь.

3.7. Конденсатор, заполненный жидким диэлектриком с диэлектрической постоянной ε, зарядили, затратив на это энергию W₁. Затем конденсатор отсоединили от источника, слили из него диэлектрик и разрядили. Какая энергия W₂ выделилась при разрядке? Объяснить результат.

3.8. Три проводящих шара с радиусами R₁ = 10 см, R₂ = 20 см и R₃ ⁼ 30 см и соответственно потенциалами φ₁ = 450 В, φ₂ = 300 В и φ₃ =150 В в вакууме разведены далеко друг от друга. Какое количество тепла Q выделится после того, как их соединили тонкими проволочками? Емкостью проволочек пренебречь.

3.9. Плоский конденсатор емкостью С последовательно с некоторым резистором подключен к батарее с ЭДС ε. Пластины конденсатора быстро сближают, так что расстояние между ними уменьшается в 2 раза. Предполагая, что за время перемещения пластин заряд конденсатора практически не изменился, найти джоулево тепло, которое выделится на резисторе к моменту окончания перезарядки. Оценить порядок величины сопротивления, при котором условия задачи могут быть практически выполнены, считая время сближения Δt ≈ 10^-2 с, С ≈ 10^-10 Ф.

3.10. Цилиндрический конденсатор состоит из двух тонкостенных коаксиальных металлических цилиндров, пространство между которыми заполнено жидким диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε = 2. На конденсатор подано напряжение, величина которого медленно увеличивается. Определить, что наступит раньше: механическое разрушение внутренней обкладки или пробой диэлектрика. Пробой диэлектрика наступает при напряженности поля E_пр ^:= 30 кВ/мм, разрывное усилие стенок цилиндров σ_кр = 500 Н/м. Радиус внутренней обкладки R = 3 см.

3.11. Плоский воздушный конденсатор заряжен до разности по­тенциалов V и отсоединен от источника ЭДС. Площадь пластин S, расстояние между ними d. Пластины конденсатора расположены вертикально. Снизу подводят сосуд с жидким диэлектриком, имеющим диэлектрическую проницаемость ε, так что диэлектрик заполняет половину конденсатора. 1) Чему равна емкость конденсатора С? 2) Чему равна напряженность поля Е в воздушной части промежутка между пластинами и в части, заполненной диэлектриком? 3) Как распределена поверхностная плотность σ электричества в пластине? 4) Определить уменьшение энергии конденсатора ΔW. На что она была израсходована? Считать, что граница жидкость—воздух плоская и все параметры конденсатора изменяются скачком.

Литература

1. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М.: НТЦ ВЛАДИС, 1997.

2. Овчинкин В.А. и др. Сборник задач по общему курсу физики. М.: МФТИ, 1999.