ББК 22.34р30-252.43 1 страница

3) электрический заряд является релятивистски инвариантным: его величина не зависит от системы отсчета, а значит, не зависит от того, движется он или покоится.

Иллюстрацией закона сохранения заряда является, например, реакция аннигиляции электрона и позитрона. При столкновении электрона и позитрона рождается две нейтральные частицы — два фотона (γ-кванты — частицы электромагнитного излучения), т.е.

.

1.2. Напряженность электрического поля

Принцип суперпозиций.

Согласно современным представлениям, материальным носителем взаимодействия между зарядами является электрическое поле. Всякий электрический заряд q изменяет определенным образом свойства окружающего его пространства — создает электрическое поле. Это поле проявляет себя в том, что помещенный в какую-либо его точку другой, «пробный», заряд испытывает действие силы.

Опыт показывает, что сила F, действующая на неподвижный точечный пробный заряд q, всегда может быть представлена как

, (1.1)

где вектор называют напряженностью электрического поля в данной точке. Вектор , как видно из (1.1), можно определить как силу, действующую на единичный положительный неподвижный заряд. Здесь предполагается, что пробный заряд q_пр должен быть достаточно малым, чтобы его внесение не вызвало заметного искажения интересующего нас поля (вследствие возможного перераспределения создающих поле зарядов).

Поле точечного заряда. Из опыта (закон Кулона) непосредственно следует, что напряженность поля неподвижного точечного заряда q на расстоянии r от него можно представить как

(1.2)

где k — постоянная вид, которой зависит от выбора системы отсчета, в системе СИ ; ε₀ — электрическая постоянная; — радиус-вектор, проведенный из центра поля, в котором расположен заряд q, до интересующей нас точки. Напряженность поля в системе СИ выражается в вольтах на метр (В/м). В зависимости от знака заряда q вектор направлен так же, как и (для положительного заряда), или противоположно ему (для отрицательного заряда).

По существу, формула (1.2) выражает не что иное, как закон Кулона, но в «полевой» форме. Вся совокупность экспериментальных фактов показывает, что этот закон справедлив для расстояний от 10 см до нескольких километров, и пока нет никаких оснований ожидать, что этот закон не выполняется и при больших расстояниях.

Принцип суперпозиции. Другой опытный факт, кроме закона (1.2), заключается в том, что напряженность поля системы точечных неподвижных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавали бы каждый из зарядов в отдельности:

, (1.3)

где r_i — расстояние между зарядом q_i и интересующей нас точкой поля.

Это утверждение называют принципом суперпозиции (наложения) электрических полей. Поле точечного заряда является фундаментальным, потому что, используя формулу (1.2) и принцип суперпозиции (1.3), можно расчитать поле любого (!) заряда.

Распределение зарядов. Для упрощения математических расчетов во многих случаях бывает удобно игнорировать тот факт, что заряды имеют дискретную структуру (электроны, ядра), и считать, что они «размазаны» определенным образом и пространстве. Другими словами, удобно заменить истинное распределение точечных дискретных зарядов фиктивным непрерывным распределением. Это позволяет значительно упрощать расчеты, не внося сколько-нибудь значительной ошибки.

При переходе к непрерывному распределению вводят понятие о плотности зарядов — объемной ρ, поверхностной σ и линейной λ. По определению,

(1.4)

где dq — заряд, заключенный соответственно в объеме dV, на поверхности dS и на длине dl.

C учетом этих распределений формула (1.3) может быть представлена в другой форме. Например, если заряд распределен по объему, то надо заменить q_i на dq = ρ dV и ∑ на ∫, тогда

, (1.5)

где интегрирование проводится по всему пространству, в котором ρ отлично от нуля.

Таким образом, зная распределение зарядов, мы можем полностью решить задачу о нахождении напряженности электрического поля по формуле (1.3), если распределение дискретно, или по формуле (1.5) и аналогично ей, если распределение непрерывно. Этот метод нахождения электрического поля получил название метод непосредственного интегрирования. В общем случае расчет сопряжен со значительными трудностями (правда, не принципиального характера). Действительно, для нахождения вектора надо вычислить сначала его проекции Е_x, Е_y, Е_z, а это по существу, три интеграла типа (1.5).

Методические указания

Для расчета в точке А электрического поля заряда, распределенного в пространстве методом непосредственного интегрирования необходимо:

1) Разбить заряженное тело на бесконечно малые элементы dV (или dS, dl) с элементарным зарядом dq = ρ dV (см. рис. 1);

V dV   A dq q Рис. 1

2) Определить напряженность поля в точке А, создаваемого точечным зарядом dq:

;

3) По принципу суперпозиций результирующее поле в очке А находится интегрированием по всему объему пространства V, где находится заряд:

.

Замечание. Для вычисления обычно переходим к его проекциям на соответствующие оси выбранной системы координат. Так, в декартовой системе координат это предполагает, в общем случае, нахождение трех интегралов:

Пример 1.1 Заряд q > 0 равномерно распределен по тонкому кольцу радиусом R. Найти напряженность Е электрического поля на оси кольца как функцию расстояния z от его центра.

Решение. Легко сообразить, что в данном случае вектор Е должен быть направлен по оси кольца (рис. 2). Выделим на кольце элемент dl. Запишем выражение для составляющей от этого элемента в точке А:

где λ = q/2πR. Для всех элементов кольца r и R будут одними и теми же, поэтому интегрирование этого выражения сводится просто к замене dl на q.

dl r R 0 α x Рис.2

В результате получаем:

Видно, что при x» а поле Е = q/4πε₀x², т. е. на больших расстояниях эта система ведет себя как точечный заряд.

Пример 1.2 Сфера радиуса R заряжена с поверхностной плотностью где — постоянный вектор; — радиус-вектор точки сферы относительно ее центра. Найти напряженность поля в центре сферы.

Решение. Выберем систему декартову координат таким образом, чтобы вектор был направлен вдоль оси Z (см. рис. 3).

Рис. 3

Разобьем сферическую поверхность на элементарные площадки dS, содержащие элементарные заряды dq=σdS. Поле dq в точке О имеет вид:

Перейдем для удобства дальнейших расчетов к сферическим координатам:

;

.

Тогда поле dq будет иметь вид:

.

Соответствующие проекции на оси координат будут иметь вид:

;

;

.

Используя принцип суперпозиций, имеем проекции результирующего поля в точке О:

;

.

Окончательно можно записать поле в центре сферы:

.

1.3. Теорема Гаусса

Поток вектора . Для большей наглядности воспользуемся геометрической картиной описания электрического поля (с помощью линий вектора ) и еще, для упрощения рассуждений, будем считать, что густота линий равна модулю вектора . Тогда число линий, пронизывающих элементарную площадку , единичная нормаль которой составляет угол α с вектором , определяется согласно рисунку 4 как . Эта величина и есть элементарный поток вектора сквозь площадку dS:

Рис. 4

, (1.6)

где Е_п— проекция вектора на нормаль к площадке . Выбор направления вектора (а следовательно, и ) условен, его можно было направить и в противоположную сторону.

Если имеется некоторая произвольная поверхность S, то поток вектора сквозь нее равен

. (1.7)

Эта величина алгебраическая: она зависит не только от конфигурации поля , но и от выбора направления нормали. В случае замкнутых поверхностей принято нормаль брать наружу области, охватываемой этими поверхностями, т. е. выбирать внешнюю нормаль, что в дальнейшем будет всегда и подразумеваться. Тогда поток через замкнутую поверхность будем обозначать

.

Понятие потока в равной степени относится к любому векторному полю.

Теорема Гаусса. Поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность S обладает удивительным и замечательным свойством: он зависит только от алгебраической суммы зарядов, охватываемых этой поверхностью, а именно:

(1.8)

Это выражение и есть теорема Гаусса: поток вектора сквозь замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности, деленной па .

Если заряды распределены непрерывно с объемной плотностью, зависящей от координат, в этом случае можно считать, что каждый элементарный объем dV содержит «точечный» заряд ρ dV. Тогда выражение (1.8) будет иметь вид:

, (1.9)

где интегрирование проводится только по объему V, заключенному внутри замкнутой поверхности S.

Необходимо обратить внимание на следующее важное обстоятельство: в то время как само поле зависит от конфигурации всехзарядов, поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность S определяется только алгебраической суммой зарядов внутриповерхности S. Это значит, что если передвинуть заряды, то поле изменится всюду, в частности и на поверхности S, изменится и поток вектора через S. Однако если передвижка зарядов произошла без пересечения поверхности S, поток вектора через эту поверхность останется прежним,хотя, повторяем, само поле может измениться, причем весьма существенно.

Применение теоремы Гаусса. При использовании теоремы Гаусса для расчета электрических полей нужно учитывать, что:

1) рассчитать можно только поле, которое обладает специальной симметрией (чаще всего плоской, цилиндрической или сферической).

2) симметрия и конфигурация поля должны быть такими, чтобы можно было найти достаточно простую замкнутую поверхность S (называемую гауссовой поверхностью), такую, чтобы отдельные ее части S_i были параллельны вектору (тогда ) или отдельные ее части S_j были перпендикулярны и напряженность на них была постоянна по модулю (тогда ).

Если этого нет, задачу о нахождении поля приходится решать помощью метода непосредственного интегрирования или с помощью других методов, с которыми мы ознакомимся ниже.

Методические указания

Для расчета электрического поля, обладающего специальной симметрией, с помощью теоремы Гаусса необходимо:

1) качественно определить характер электрического поля заряженного тела;

2) удобным образом выбрать гауссову поверхность S (см. п.2 Применение теоремы Гаусса);

3) результирующий поток через поверхность S рассчитать как алгебраическую сумму потоков через поверхности S_i, составляющие ее:

.

4) если заряды распределены непрерывно с объемной плотностью ρ, зависящей от координат, разбить заряженное тело на бесконечно малые объемы dV с элементарным зарядом dq = ρ dV. Тогда (внутри S)

5) для расчета записать теорему Гаусса:

(внутри S).

Пример 1.3. Рассчитать напряженность поля прямой бесконечной нити, равномерно заряженной с линейной плотностью λ, в точке А, удаленной от нити на расстояние r₀.

Решение. 1-й способ. Применим теорему Гаусса для расчета напряженности поля (поле цилиндрической симметрии). В силу симметрии поля вектор напряженности в любой точкенормален цилиндрической поверхности, проходящей через эту точку (рис. 5).

В Y dl C A r dα α О X D r0 Рис. 6

Ось симметрии этой поверхности совпадает с нитью. Поэтому в качестве замкнутой поверхности выберем цилиндр длиной l с осью симметрии, совпадающей с нитью, боковая поверхность которого проходит через точку А.

Поток вектора через боковую поверхность цилиндра

,

а электрический заряд, расположенный внутри цилиндра

.

Тогда по теореме Гаусса имеем:

.

Отсюда определяем искомую напряженность:

.

2-й способ (Метод непосредственного интегрирования). Разделим нить на столь малые элементы, в пределах которых можно считать заряд точечным. Рассмотрим один такой элемент длиной dl с зарядом dq=λdl (рис. 6).

В точке О элементарная напряженность поля этого заряда

.

Из треугольника ADO находим: . Так как то из треугольника ABC определяем:

.

Подставляя значения r, dα, получаем:

Проекции вектора наоси ОX и ОY:

Отсюда после интегрирования получаем:

Окончательно получаем:

что совпадает с выражением, полученным с помощью теоремы Гаусса.

Пример 1.4 Система состоит из равномерно заряженной сферы радиусом R и окружающей среды, заполненной зарядом с объемной плотностью ρ = α/r, где α — положительная постоянная, r — расстояние от центра сферы. Найти заряд сферы, при котором напряженность электрического поля вне сферы не будет зависеть от r. Чему равно Е?

Решение. Пусть искомый заряд сферы равен q, тогда, воспользовавшись теоремой Гаусса, запишем для сферической поверхности радиусом r>R (снаружи сферы с зарядом q):

.

Проинтегрировав, преобразуем предыдущее уравнение к виду: .

Напряженность Е не зависит от r при условии, когда выражение в скобках равно нулю. Отсюда

q = 2παR² и Е =α/2ε₀.

Выражения для напряженности полей заряженных тел (в вакууме), обладающих специальной симметрией, рассчитанных по теореме Гаусса.

Равномерно заряженная с линейной плотностью λ бесконечная нить (поле цилиндрической симметрии)	(r — расстояние от нити по перпендикуляру к ней)
Равномерно заряженная зарядом q по поверхности сфера радиусом R (поле сферической симметрии)	(r — расстояние от центра сферы)
Заряд равномерно распределен с объемной плотностью ρ по объему шара радиуса R (поле сферической симметрии)	(r — расстояние от центра шара)
Равномерно заряженная с поверхностной плотностью σ бесконечная поверхность (поле плоской симметрии)	(однородное поле во всем пространстве)

Теорема Гаусса в дифференциальной форме. Замечательное свойство электрического поля, которое выражает собой теорема Гаусса, побуждает представить эту теорему в иной форме, расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.

В отличие от формы (1.8) — ее называют интегральной — мы будем искать дифференциальную форму теоремы Гаусса, в которой устанавливается связь между объемной плотностью заряда ρ и изменениями напряженности Е в окрестности данной точки пространства.

Для этого представим сначала заряд q в объеме V, охватываемом замкнутой поверхностью S, как , где — среднее по объему V значение объемной плотности заряда. Затем подставим это выражение в уравнение (1.8) и разделим обе части его на V. В результате получим: