В идеальном колебательном контуре (рис. 1) активное сопротивление R = 0 и потери электромагнитной энергии отсутствуют. Сила тока в контуре, заряд в конденсаторе. ЭДС самоиндукции в катушке и ряд других характеристик совершают незатухающие колебания с собственной циклической частотой
,
т.е. с периодом, определяемым по формуле Томпсона:
.
В реальном колебательном контуре (рис. 2), состоящем из последовательно соединенных конденсатора (емкостью С), катушки (индуктивностью L) и резистора (сопротивления R),процесс изменения величины заряда с течением времени t описывается дифференциальным уравнением, составленным на основании второго закона Кирхгофа:
.
Если ввести обозначения коэффициента затухания 
и собственной частоты 
,то дифференциальное уравнение затухающих колебаний в контуре:
Решением этого дифференциального уравнения, является функция, определяющая величину заряда 
:
.
Чтобы найти силу тока, продифференцируем полученное решение по времени:
Стоящий перед косинусом множитель 
представляет собой амплитуду, которая экспоненциально уменьшается с течением времени. Величина 
- это начальная амплитуда в момент времени 
. Циклическая частота затухающих колебаний:
,
несколько меньше собственной частоты колебаний в идеальном контуре, которая равна: . Вид функции 
говорит о том, что в контуре, содержащем активное сопротивление 
, происходят затухающие колебания с частотой 
.
В зависимости от соотношения между параметрами , 
, 
возможны четыре варианта процессов в контуре.
1. Если 
, коэффициент затухания тоже равен нулю 
, то 
, 
, 
,где 
. Значит, в контуре происходят незатухающие гармонические колебания (рис. 3 а).
2. Если 
, следовательно 
или 
(величина 
называется волновым сопротивлением контура), то в контуре наблюдаются затухающие колебания с частотой 
(рис. 3 б).
3. Если окажется, что 
, т.е. 
, то математически получается, что значение 
и в контуре колебания не возникают, а наблюдается апериодический процесс. Активное сопротивление , удовлетворяющее условию , называют критическим сопротивлением контура 
(рис. 3 в).
4. Если же 
, т.е. если 
, то 
- мнимая величина, а это математически тоже говорит об отсутствии колебательного процесса, апериодическом стремлении к нулю (рис. 3 в).
Интенсивность затухания колебаний характеризуется логарифмическим декрементом затухания, определяемым как логарифм отношения двух последующих амплитуд затухающих колебаний (см. рис. 3 б):
,
где 
- амплитуда колебаний в некоторый момент времени 
, 
амплитуда колебаний в момент времени 
. Поскольку 
и 
, после подстановки значений амплитуд логарифмический декремент затухания:
и зависит только от значений коэффициента затухания 
и периода 
. Часто используют характеристику, называемую добротностью контура 
. По определению добротность величина обратная логарифмическому декременту затухания
,
она может бытьпредставлена в виде:
,
если 
,. т.е. 
. По величине добротности судят о резонансных свойствах контура. При высокой добротности резонансный пик высокий, острый. Контур имеет хорошую частотную избирательность.
