Связь напряженности и градиента потенциала

При перемещении в поле от исследуемой точки значение потенциала изменяется.

Вектор градиента потенциала электрического поля направлен в сторону увеличения потенциала перпендикулярно к эквипотенциальной поверхности. Отношение бесконечно малого изменения потенциала к бесконечно малому перемещению в этом направлении принимает максимальное значение, а по модулю вектор градиента равен этому отношению.

Математически это можно записать в виде

,

где — единичный вектор, направленный в сторону увеличения потенциала перпендикулярно к эквипотенциальной поверхности. Единица измерения градиента — В/м.

На рис. показаны две эквипотенциальные поверхности, соответствующие потенциалам и . Из рисунка видно что, , т.к. .

Работа сил поля по переносу заряда из точки 1 в точку 2 вдоль нормали равна , учитывая что , получим . Сократив на величину заряда и разделив обе части равенства на величину перемещения , получим связь между напряженностью и градиентом потенциала

.

Из этого соотношения видно, что вектор направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону убывания потенциала, т. е. вектора напряженности поля и градиента потенциала равны по модулю, но противоположны по направлению: .

Градиент и напряженность измеряются в одних и тех же единицах — В/м.

Вектор градиента в декартовых прямоугольных координатах имеет вид: , где частные производные потенциала j по x, y, и z являются проекциями вектора градиента соответственно на оси x, y, z. Используя, векторно-дифференциальный оператор «набла» — , запишем градиент как произведение этого оператора на потенциал j, , тогда вектор напряженности электрического поля записывают в виде .