Сформулируйте геометрическую интерпретацию игры 2х2

Виноградова Татьяна, Н-2-2

Теоретическая часть. Методы оптимальных решений

Сформулируйте геометрическую интерпретацию игры 2х2

Решение игры 2×2 допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Пусть игра задана платежной матрицей Р = (a_ij), i, j = 1, 2. По оси абсцисс (рис. 3.1) отложим единичный отрезок A₁ A₂ точка A₁(х=0) изображает стратегию A₁, а все промежуточные точки этого отрезка — смешанные стратегии S_A первого игрока, причем расстояние от S_A до правого конца отрезка — это вероятность p₁ стратегии A₁, расстояние до левого конца — вероятность p₂ стратегии A₂. На перпендикулярных осях I — I и II — II откладываем выигрыши при стратегиях A₁ и A₂ соответственно. Если 2 -й игрок примет стратегию B₁, то она дает выигрыши a₁₁ и a₂₁ на осях I — I и II — II, соответствующие стратегиям A₁ и A₂. Обозначим эти точки на осях I—I и II—II буквой B₁. Средний выигрыш v₁, соответствующий смешанной стратегии S_A, определяется по формуле математического ожидания v₁ = a₁₁ p₁ + a₂₁ p₂ и равен ординате точки M₁, которая лежит на отрезке B₁ B₁ и имеет абсциссу S_A (рис. 3.1).

Рис. 3.1	Рис. 3.2

 

Аналогично строим отрезок B₂B₂, соответствующий применению вторым игроком стратегии B₂ (Рис. 3.2). При этом средний выигрыш v₂ = a₁₂ p₁ + a₂₂ p₂ — ордината точки M₂.
В соответствии с принципом минимакса оптимальная стратегия S*_A такова, что минимальный выигрыш игрока А (при наихудшем поведении игрока В) обращается в максимум. Ординаты точек, лежащих на ломаной (рис. 3.3 в примере 3.4.1), показывают минимальный выигрыш игрока А при использовании им любой смешанной стратегии (на участке B₁ N — против стратегии B₁ , на участке NB₂ — против стратегии B₂). Оптимальную стратегию S*_A = (p*₁ , p*₂) определяет точка N, в которой минимальный выигрыш достигает максимума; ее ордината равна цене игры v.

 

2.Как изменится оптимальное решение транспортной задачи при малом изменении потребностей или ресурсов?

Транспортная задача, в которой суммарные запасы

и суммарные потребности

совпадают, называется закрытой моделью; в противном случае - открытой. Открытая модель решается приведением к закрытой.

В случае, когда суммарные запасы превышают суммарные

потребности, т.е.

вводится фиктивный n+1 потребитель, потребности которого

В случае, когда суммарные потребности превышают суммарные

запасы, т.е.

, вводится фиктивный m+1 поставщик, запасы которого

Стоимость перевозки единицы груза как до фиктивного потребителя, так и стоимость перевозки единицы груза от фиктивного поставщика

полагают равными нулю, так как груз в обоих случаях не перевозится.