Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ќпределенный интеграл, его свойства и геометрический смысл




ѕусть функци€ определена на отрезке ѕроизведем разбиение (см. –5)

отрезка на частичные отрезки и выберем произвольно точки ¬ычислим значени€

и составим так называемую интегральную сумму

ќпределение 3. ≈сли существует конечный предел интегральных сумм:

и если этот предел не зависит от вида разбиени€ и выбора точек то его называют определенным интегралом отфункции на отрезке ќбозначение: ѕри этом саму функцию называют интегрируемой на отрезке

(заметим, что число называетс€ диаметром разбиени€ ).

ѕусть теперь функци€ ѕо разбиению строитс€ ступенчата€ фигура (см. –6), состо€ща€ из пр€моугольников высоты и длиной основани€, равной ѕлощадь этой ступенчатой фигуры (достройте ее самосто€тельно) равна интегральной сумме и эта площадь будет приближенно равна площади криволинейной трапеции[2] т.е. причем это равенство будет тем точнее, чем меньше диаметр разбиени€ и оно становитс€ точным при

ћы пришли к следующему геометрическому смыслу определенного интеграла:

интеграл численно равен площади криволинейной трапеции с верхней границей, описываемой уравнением

«амечание 3. ¬ определении 3 интеграла предполагаетс€, что отрезок интегрировани€ ориентирован от до (т.е. ). ¬ случае противоположной ориентации отрезка

(т.е. при ) полагаем по определению “акже полагаем по определению, что

ѕерейдем к формулировке свойств определенного интеграла.

ќграниченность подынтегральной функции. ≈сли функци€ интегрируема на отрезке то она ограничена на этом отрезке (т.е. ).

Ћинейность интеграла. ≈сли функции и интегрируемы на отрезке то на этом отрезке интегрируема и люба€ их линейна€ комбинаци€ и имеет место равенство

јддитивность интеграла. ≈сли функци€ интегрируема на максимальном из отрезков то она интегрируема и на двух других отрезках, причем имеет место равенство

ƒалее везде предполагаем, что

ћонотонность интеграла. ≈сли функции и интегрируемы на отрезке и то

»нтегрируемость модул€. ≈сли функции интегрируема на отрезке то на этом отрезке интегрируема и функци€ причем имеет место неравенство

“еорема о среднем дл€ интеграла. ѕусть функци€ непрерывна на отрезке “огда существует точка така€, что (геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что существует пр€моугольник с основанием и высоты равновеликий криволинейной трапеции ).

ƒоказательство. ѕусть (по теореме ¬ейерштрасса значени€ и функцией достигаютс€). »меем поэтому из свойства монотонности интеграла отсюда получаем

ѕоследние неравенства показывают, что значение €вл€етс€ промежуточным дл€ функции на отрезке а, значит, по теореме Ѕольцано- оши существует такое, что

“еорема доказана.

–ассмотрим ещЄ несколько примеров, которые демонстрируют простейшие приемы интегрировани€.

 


[1] «десь и всюду далее с тем, чтобы не прерывать выкладки, в квадратных скобкахбудем указывать соответствующие замены переменных или формулы, необходимые дл€ преобразований исходных выражений.

[2] Ќа рис. –6: Ц это трапеци€ ограниченна€ сверху кривой снизуЦ осью, с боковЦ пр€мыми и





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-02-12; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 976 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—вобода ничего не стоит, если она не включает в себ€ свободу ошибатьс€. © ћахатма √анди
==> читать все изречени€...

1975 - | 1748 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.01 с.