Замена переменной в неопределенном интеграле

Перейдем к формулировке теоремы о замене переменной в неопределенном интеграле, которая часто используется при вычислении интегралов.Здесь имеются в виду два утверждения[1]:

где функция, обратная к функции

Теорема 2. а) Пусть выполнены условия: 1) функция непрерывна в своей области определения б) функция непрерывно дифференцируема на множестве таком, что

Тогда для всех имеет место равенство

б) Пусть выполнены условия: 1) функция непрерывна в своей области определения

2) функции и непрерывны на множестве таком, что

3) 4) функция имеетна множестве обратную функцию Тогда для всех имеет место равенство

Замечание 1. Преобразования в часто называют процедурой введения множителя под знак дифференциала. Формулу удобно применять в тех случаях, когда функция легче интегрируется, чем исходная функция Её применяют, например, при вычислении интегралов от иррациональностей вида (здесь рациональная функция). В первом случае делается замена во втором случае подбирают такую замену чтобы исчезла иррациональность. Например,

= Далее надо вернуться к старой переменной с помощью обратной функции и получить ответ:

3. Интегрирования по частям в неопределенном интеграле