Пусть функция 
дифференцируема в точке 
Тогда в точке 
она имеет касательную, каждая точка 
которой удовлетворяет уравнению
Определение 3. Говорят, что кривая выпукла вверх в точке 
если существует 
такое, что в окрестности 
кривая находится
ниже своей касательной (3) в точке 
т.е. если 
Если же 
то кривая называется выпуклой вниз в точке 
(часто говорят, о выпуклости или вогнутости в точке 
). Говорят, чтокривая выпукла вверх (выпукла вниз) на интервале 
если она выпукла вверх (выпукла вниз) в каждой точке 
этого интервала.
На рисунке Р.2 функция выпукла вверх в точке а на Р.3 – выпукла вниз.
Теорема 3. Пусть функция дважды дифференцируема на интервале 
. Тогда справедливы высказывания:
1. если 
то кривая выпукла вверх на 
2. если 
то кривая выпукла вниз на 
Доказательство. Пусть 
произвольная точка интервала Окружим её отрезком 
Таккак функция удовлетворяет на этом отрезке всем условиям теоремыТейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, то для всех 
имеет место представление
С другой стороны, в точке функция имеет касательную с уравнением 
.Значит, 
Отсюда видно, что если 
(тогда и 
), то 
значит,
кривая выпукла вверх в точке 
Если же то то значит,кривая выпукла вниз в точке Теорема доказана.
Определение 4. Точка 
называется т очкой перегиба кривой 
если:а) 
дифференцируема в точке ; б) кривая при переходе 
через точку изменяет направление выпуклости (это равносильно тому, что разность 
изменяет знак при переходе через точку ).
Необходимое условие точки перегиба. Если - точка перегиба и если существут 
то 
Доказательство вытекает из локальной формулы Тейлора и из равенства
Замечание 4. К точкам, подозрительным на “перегиб”, следует отнести, прежде всего, точки , для которых Однако “перегиб” может иметь место и в точках, в которых вторая производная 
не существует или равна 
Например, в точке 
функция 
имеет производную 
И в этой точке эта функция имеет “перегиб”. Очевиден следующий результат.
Теорема 4 (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция дифференцируема в точке и некоторой её окрестности и дважды дифференцируема в некоторой проколотой окрестности этой точки. Тогда если при переходе через точку вторая производная изменяет знак, то точка перегиба кривой 
