Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


¬ыпуклость, вогнутость, точки перегиба




ѕусть функци€ дифференцируема в точке “огда в точке она имеет касательную, кажда€ точка которой удовлетвор€ет уравнению

ќпределение 3. √овор€т, что крива€ выпукла вверх в точке если существует такое, что в окрестности крива€ находитс€

ниже своей касательной (3) в точке т.е. если ≈сли же

то крива€ называетс€ выпуклой вниз в точке (часто говор€т, о выпуклости или вогнутости в точке ). √овор€т, чтокрива€ выпукла вверх (выпукла вниз) на интервале если она выпукла вверх (выпукла вниз) в каждой точке этого интервала.

Ќа рисунке –.2 функци€ выпукла вверх в точке а на –.3 Ц выпукла вниз.

“еорема 3. ѕусть функци€ дважды дифференцируема на интервале . “огда справедливы высказывани€:

1. если то крива€ выпукла вверх на

2. если то крива€ выпукла вниз на

ƒоказательство. ѕусть произвольна€ точка интервала ќкружим еЄ отрезком “аккак функци€ удовлетвор€ет на этом отрезке всем услови€м теоремы“ейлора с остаточным членом в форме Ћагранжа, то дл€ всех имеет место представление

— другой стороны, в точке функци€ имеет касательную с уравнением .«начит, ќтсюда видно, что если (тогда и ), то значит,

крива€ выпукла вверх в точке ≈сли же то то значит,крива€ выпукла вниз в точке “еорема доказана.

ќпределение 4. “очка называетс€ т очкой перегиба кривой если:а) дифференцируема в точке ; б) крива€ при переходе через точку измен€ет направление выпуклости (это равносильно тому, что разность измен€ет знак при переходе через точку ).

Ќеобходимое условие точки перегиба. ≈сли - точка перегиба и если существут то

ƒоказательство вытекает из локальной формулы “ейлора и из равенства

 

«амечание 4.   точкам, подозрительным на УперегибФ, следует отнести, прежде всего, точки , дл€ которых ќднако УперегибФ может иметь место и в точках, в которых втора€ производна€ не существует или равна Ќапример, в точке функци€ имеет производную » в этой точке эта функци€ имеет УперегибФ. ќчевиден следующий результат.

“еорема 4 (достаточное условие точки перегиба). ѕусть функци€ дифференцируема в точке и некоторой еЄ окрестности и дважды дифференцируема в некоторой проколотой окрестности этой точки. “огда если при переходе через точку втора€ производна€ измен€ет знак, то точка перегиба кривой

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-02-12; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 483 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—тремитесь не к успеху, а к ценност€м, которые он дает © јльберт Ёйнштейн
==> читать все изречени€...

1916 - | 1850 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.009 с.