Способы представления кривых

Кривые в пространстве могут быть определены:

1. параметрически;
2. непараметрически (аналитически):

· явное задание;

· неявное задание

 

Уравнение пространственной кривой можно получить как результат пересечения поверхностей:

Формирование пространственной кривой

V(t)

Уравнение пространственной кривой в явном виде:

Параметрическая форма задания:

, где t - параметр.

Плоскость: Представление плоских кривых

Для вычерчивания кривых в компьютерной графике используется ряд методик.

x

y

x1

x2

x3

y3

y2

y1

xn

Способы задания кривых на плоскости:

1) Матричная модель - представляет собой совокупность координат точек, при условии, что эти точки близко находятся друг от друга.

При этом возникает проблема получения гладкой кривой по дискретным точкам.
2) Аналитическая форма - Явная форма (явное задание) кривой на плоскости: y=f(x).

В этой форме каждому элементу соответствует только одно значение функции; следовательно, такая форма не может быть использована для задания многозначных функций и замкнутых кривых.

Поэтому в этих случаях применяют неявную форму задания: f(x,y)=0;

Преимущества аналитической формы:

1) Аналитическое описание является более точным. Кроме этого, можно вычислить ряд характеристик кривой, таких как tgα (тангенс угла наклона в точке) или угол кривизны (соответственно, как первую и вторую первообразные);

2) Требуется меньше памяти для хранения (по сравнению с матричной формой);

3) Нет необходимости в интерполяции для нахождения требуемой области промежуточных точек;

4)

x

y

эти кривые отличаются только коэффициентами

При необходимости, легко изменить форму кривой (меняя коэффициенты в уравнении, описывающем кривую); это свойство важно для интерактивного редактирования кривой.

 

Недостатки аналитической формы:

1) Является координатно-зависимой. Это значит, отрисовка зависит от вида кривой. При вычислении точек (с заданным шагом по одной из координат) можем получить неравномерное распределение точек на кривой. Пример: 2) Очень трудно задавать бесконечность. Либо бесконечность выбирают равной машинной бесконечности (максимальное число в данной разрядной сетке), либо переходят к косоугольной системе координат. Пример: