Как уже упоминалось в разделе 3, распределение времени безотказной работы до появления постепенного (износового) отказа (на третьем участке рисунка 3.2) в большинстве практических ситуаций близко к нормальному, то есть хорошо описывается законом Гаусса (рисунок 3.4, б). Найдём доверительные границы для математического ожидания Мх величины х, распределённой по нормальному закону. Вначале требуется найти доверительную вероятность
Ρ (ε) = Ρ (| Мх стат - Мх | < ε). (7.15а)
Известно, что величина х распределена по нормальному закону, но ввиду того, что параметры Мх и σх этого закона неизвестны, воспользоваться этим законом распределения невозможно. Чтобы обойти это затруднение, ввёдем вместо случайной величины Мх другую случайную величину Тm:
Тm = (Мх стат - Мх) / σm, (7.15б)
где
(7.16)
В математической статистике доказано, что случайная величина Тm подчиняется закону распределения Стьюдента, предложенному в 1908 году английским математиком В. С. Госсетом (псевдоним Стьюдент) [4, 30]:
(7.17)
где Г(n /2) - гамма-функция.
Распределение Стьюдента не зависит от параметров Мх и σх величины х, а зависит только от аргумента t и числа наблюдений n. Распределение Стьюдента позволяет найти доверительную вероятность (7.15 а).
Зададимся произвольным положительным числом ta и найдем вероятность попадания величины Тm на участок (- ta, ta)
(7.18)
Подставив в левую часть формулы (7.18) вместо Тm его значение из выражения (7.15 б), получим
(7.19)
где ε = ta × σm, ta - квантиль распределения Стьюдента для выбранной вероятности Р (ε) и числа степеней свободы r = n - 1.
С помощью табулированной в таблице 7.8 функции ta можно решать практические задачи по точности оценки величины математического ожидания.
Доверительный интервал находится следующим образом [4]:
1. Задаемся доверительной вероятностью Р (ε). Обычно величину Р (ε) выбирают из значений: Р (ε) = 0,8; 0,9; 0,95; 0,99.
2. Находим величину σm с помощью формул (7.7) для D [ х стат] и (7.16).
3. Определяем число степеней свободы r = n –1.
4. По известным значениям r и Р (ε) находим по таблице 7.8 величину ta.
5. Умножая ta на σm, находим ε = ta × σm - половину длины доверительного интервала.
6. Доверительный интервал будет Iε = Мх стат ± ε.
Пример 7.1.
При испытании десяти устройств, отказы которых распределены по нормальному закону, получены следующие значения времени безотказной работы в часах:
| t 1 | t 2 | t 3 | t 4 | t 5 | t 6 | t 7 | t 8 | t 9 | t 10 |
Определить статистическую оценку средней наработки до отказа Т 1стат, σ стат и найти доверительный интервал Iε для Т 1стат с доверительной вероятностью Р (ε) = 0,9.
Решение.
1. Находим по формуле (3.22) статистическую оценку средней наработки до отказа Т 1стат
ч. (3.22)
2. Находим величину σ стат и σm с помощью формул (7.7) для D [ х стат] и (7.16) для σm:
ч;
ч.
3. Находим:
- по таблице 7.8 при r = n – 1 = 10 – 1 = 9 и Р (ε) = 0,9 величину ta = 1,83;
- половину доверительного интервала ε = ta × σm = 14,8 ч × 1,83 = 27 ч;
- нижнюю Т 1 стат Н и верхнюю Т 1 стат В границы доверительного интервала
Т 1 стат Н = 130 – 27 = 103 ч; Т 1 стат В = 130 + 27 = 157 ч;
- величину доверительного интервала Iε = (103 ÷ 157) ч.
Таблица 7.8 - Квантили распределения Стьюдента – ta - для выбранной вероятности Р (ε) и числа степеней свободы r = n – 1 [1, 4, 30]
| n | Р (ε) | |||||
| 0,80 | 0,90 | 0,95 | 0,99 | 0,995 | 0,999 | |
| 3,080 | 6,31 | 12,71 | 63,70 | 127,30 | 637,20 | |
| 1,886 | 2,92 | 4,30 | 9,92 | 14,10 | 31,60 | |
| 1,638 | 2,35 | 3,188 | 5,84 | 7,50 | 12,94 | |
| 1,533 | 2,13 | 2,77 | 4,60 | 5,60 | 8,61 | |
| 1,476 | 2,02 | 2,57 | 4,03 | 4,77 | 6,86 | |
| 1,440 | 1,94 | 2,45 | 3,71 | 4,32 | 9,96 | |
| 1,415 | 1,90 | 2,36 | 3,50 | 4,03 | 5,40 | |
| 1,397 | 1,86 | 2,31 | 3,36 | 3,83 | 5,04 | |
| 1,383 | 1,83 | 2,26 | 3,25 | 3,69 | 4,78 | |
| 1,363 | 1,80 | 2,20 | 3,11 | 3,50 | 4,49 | |
| 1,350 | 1,77 | 2,16 | 3,01 | 3,37 | 4,22 | |
| 1,341 | 1,75 | 2,13 | 2,95 | 3,29 | 4,07 | |
| 1,333 | 1,74 | 2,11 | 2,90 | 3,22 | 3,96 | |
| 1,328 | 1,73 | 2,09 | 2,86 | 3,17 _ | 3,88 | |
| 1,316 | 1,70 | 2,04 | 2,75 | 3,20 | 3,65 | |
| 1,306 | 1,68 | 2,02 | 2,70 | 3,12 | 3,55 | |
| 1,298 | 1,68 | 2,01 | 2,68 | 3,09 | 3,50 | |
| 1,290 | 1,67 | 2,00 | 2,66 | 3,06 | 3,46 | |
| ∞ | 1,282 | 1,64 | 1,96 | 2,58 | 2,81 | 3,29 |
В период износовых отказов величина разброса параметра х, определяющая параметрическую надёжность, связана с величиной разброса времени наступления износового отказа τ, определяющей динамическую точность. Эта связь наглядно показана на рисунке 3.4, а аналитическое выражение для этой связи имеет вид
σх = с× στ, (7.20)
где с - коэффициент старения; σх - среднеквадратическая ошибка измерения величины контролируемого параметра х, по измерению которого определяют время τ наступления износового отказа; στ – среднеквадратическая ошибка измерения времени τ наступления износового отказа.
Увеличение количества измерений n и увеличение точности этих измерений позволяет увеличить достоверность и точность доверительных оценок. Если необходимо произвести оценку х стат с точностью ε и надёжностью Р Д(t) = 2 Ф (t), то при равноточных и независимых измерениях с известной точностью σх при нормальном распределении времени безотказной работы в период износовых отказов требуется число опытов n, определяемое неравенством [1]
n ≥ { t [ Р Д(t)] / εх }2 σх 2. (7.21)
В выражении (7.21) t = t [ Р Д(t)] находится при условии Р Д(t) = 2 Ф (t) и t = εх / σх) пο таблице 7.6, а εх - половина доверительного интервала разброса параметра х. Доверительный интервал средней наработки до отказа
Iε = T 1 стат ± ε = T 1 стат ± εх / с. (7.22)
Если σх неизвестна, то необходимое число измерений n можно определить, используя формулу (7.21) и таблицу 7.6, в зависимости от Р Д(t), εх и отношения t = εх / σх стат, где σх стат - эмпирический стандарт неизвестной ошибки, определяемый по формуле (7.7). При этом в формуле (7.21) следует заменить σх на σх стат.
