Общие сведения о доверительной ве­роятности, доверительных интервалах и методах исключения грубых ошибок измерения

Оценки, полученные по формулам (7.3), (7.5), (7.6) и (7.7), называются точеч­ными. Для характеристики точности и надёжности оценки х _стат пользуются доверительными интервалами и доверительными ве­роятностями.

Пусть для параметра х получена из n опытов несмещенная оценка х _стат. Оценим вероятность, при которой допущенная при этом ошибка не превзойдет некоторой величины ε. Обозначим эту вероятность, называемую доверительной вероятностью, Ρ (ε):

Ρ (ε) = Ρ (| х _стат - х | < ε). (7.8)

Доверительная вероятность - это есть вероятность того, что истинное значение х будет заклю­чаться в пределах от х _стат – ε до х _стат +ε. Границы х _стат – и х _стат + ε называют доверительными границами, а интервал I _ε = х _стат ± ε - доверительным интервалом. Доверительный интервал характеризует точность полученного результата, а доверительная вероятность - его надёжность [4]. Если при испытаниях m значений измеряемой случайной величины х попадут в интервал (х ₁, х ₂), то при большом числе опытов отношение m к общему числу опытов N, называемое частостью, будет стремиться к постоянному числу. Для различных интервалов эти числа, есте­ственно, будут различны. Рассматривая случайные ошибки как случайные величины, можно утверждать, что вероятность P [ х Î (х ₁, х ₂)] попада­ния случайной величины х в интервал (х ₁, х ₂), равна

P [ х Î (х ₁, х ₂)] ≈ m / N. (7.9)

Правило, позволяющее находить P [ х Î (х ₁, х ₂)] для любых интер­валов (х ₁, х ₂), и есть закон распределения вероятностей случайной величины х. Если закон распределения является нормальным, то вероятность попадания случайной ошибки х в симметричный ин­тервал (- х ₁, х ₂) при (х ₁ > 0) оценивают выражением [1]

P [ х Î (- х ₁, х ₂)] = P [| х | < х ₁] = 2 Ф (х / σ) = 2 Φ (t) = Р _Д(t), (7.10)

где Ф (t) интеграл вероятности:

и Ф (- t) = - Ф (t); (7.11)

2 Ф (х / σ) = 2 Φ (t) = Р _Д(t) (при t = х / σ) - интегральная функция Лапласа. Её значения для различных t протабулированы и при­ведены в таблице 7.6;

Ф (х / σ) = Φ (t) - интеграл вероятностей или функция Лапласа;

σ - среднеквадратическая ошибка.

Вероятность того, что случайная ошибка х не выйдет за границы ± t_σ, (t > 0), равна

Ρ [| х | > t_σ ] = 1 - 2 Φ (t). (7.12)

При х ³ 3 σ (т.е. при t ³ 3) вероятность Ρ[| х | > t_σ ] становится настолько ма­лой (Ρ [| х | > 3 σ ] =1 - 2 Ф (3) = 0,0027), что выход случайной ошиб­ки за трехсигмовый интервал считают практически невозможным. Это правило получило название правила трёх сигм. Оно находит широ­кое практическое применение для исключения грубых ошибок измерения (промахов), для которых | х | > 3 σ, из статистического ряда. Если среднеквадратическая ошибка σ заранее неизвестна, то с помощью формулы (7.5) вычисляют статистическую оценку среднеквадратичного отклонения σ _стат, а затем исключают грубые ошибки измерения для которых

| х | > 3 σ _стат. (7.13)

Таблица 7.6 - Интегральная функция Лапласа Р _Д(t) = 2 Φ (t) [1, 4, 30] и Ф (- t) = - Ф (t)

Согласно таблицы 7.6, если мы хотим исключить ошибки измерения величины х, вероятность появления которых Ρ [| х |> t_σ ] меньше 5% (Р _Д(t) = 2 Ф (t) = 0,95), то убирают значения х > 1,96 σ _стат (t > 1,96). Если мы хотим исключить ошибки измерения величины х, вероятность появления которых Ρ [| х |> t_σ ] меньше 1% (Р _Д(t) = 2 Ф (t) = 0,99), то убирают значения х > 2,576 σ _стат (t > 2,576). Если мы хотим исключить ошибки измерения величины х, вероятность появления которых Ρ [| х |> t_σ ] меньше 0,1% (Р _Д(t) = 2 Ф (t) = 0,999), то убирают значения х > 3,291 σ _стат (t > 3,291). Здесь сотые и тысячные доли величины t уточнены по более подробным таблицам из [1]. При вычислении σ_стат с помощью формулы (7.5) следует не включать в вычисления подозрительное значение х, которое проверяется на предмет его возможного исключения из статистического ряда.

Для исключения грубых ошибок измерения существует также критерий Ирвина, о котором не указы­вается, что он применим при определенном распределении. Метод или критерий Ирвина основан на оценке разности двух наибольших или наименьших членов выборки. Определяется величина λ, равная [10]

λ = (х ₂ - х ₁) / σ _стат (7.14 а)

или

λ = (х _n - х _n-1) / σ _стат, (7.14б)

в зависимости от того, с какой стороны выборки расположен резко выделяющийся член выборки. По приведенной таблице 7.7 в зависимости от объема выборки n при уровне значимости α = 0,95 находят критическое значение λ = 0,95. Если рассчитанная λ ≤ λ (a = 0,95), то оцениваемый ре­зультат является случайным и не подлежит исключению из выборки. Если λ > λ (a = 0,95), то следует исключить из выборки оцениваемое резко выделяющееся наименьшее или наибольшее значение случайной величи­ны (или оба вместе), так как оно представляет собой грубую ошиб­ку. После исключения ошибки необходимо снова вычислить значения x _стат и σ _стат. В [10] описаны и некоторые другие методы исключения грубых ошибок измерения.

Таблица 7.7 - Значения критерия Ирвина λ(a = 0,95) для уровня значимости α = 0,95 в зависимости от объёма выборки n [10]