Статистические характеристики надёжности устройств в условиях эксплуатации

Общие положения

Расчет надёжности по статистическим данным может проводиться в процессе испытаний на надёжность, либо в условиях эксплуатации. Для определения показателей надёжности в этом случае необходимо получить: сведения об отказавшем блоке, узле, элементе; сведения о времени наступления отказа; сведения о причине отказа; сведения о наработке отдельных элементов, блоков, аппаратуры в целом; сведения о времени ремонта и о времени простоя. При расчете надёжности по данным о наработке составляется таблица потока отказов (таблица 7.1), в общем случае, представляющая простой статистический ряд, в котором статистические данные изменяются по величине беспорядочно. На основании этой таблицы строится вариационный ряд наработки данного устройства (таблица 7.2) в котором нумерация отказов делается такой, чтобы статистические данные возрастали с увеличением величины номера. Приведённые числовые значения в таблицах взяты из [4].

Таблица 7.1 - Простой статистический ряд по данным о наработке

Номер отказа

Наработка Т ₁, ч

Номер отказа

Наработка Т ₁, ч

Таблица 7.2 - Вариационный ряд по данным о наработке

Номер отказа

Наработка Т ₁, ч

Номер отказа

Наработка Т ₁, ч

При большем числе наблюдений весь диапазон значений отказов делится на интервалы времени Δt _i и подсчитывается количество отказов n _i, приходящихся на каждый i -й интервал. Далее строится таблица (таблица 7.3), называемая статистическим рядом, в которой приводятся интервалы в порядке их расположения вдоль оси абсцисс (число отказов в интервале Δt _i) и оценки рассчитываемых показателей надёжности для каждого интервала Δt _i. По данным этого ряда строятся гистограммы для оцениваемых показателей надёжности: интенсивности отказов λ (t) и вероятности безотказной работы Р (t) (рисунок 7.1).

Расчётные формулы для оценочных значений интенсивности отказов λ _i _стат(t), для вероятности безотказной работы Р _стат(t) и для вероятностей отказа F _стат(t) и F (t) даны в таблице 7.3.

Таблица 7.3 - Статистический ряд по данным о наработке

Δt _i, ч	0 - 20	20 - 40	40 - 60	60 - 80	80 - 100	100 - 120
n_i
λ _{i стат}(t) 1/ч	0,0363	0,0218	0,0125	0,027	0,033	λ _{i стат}(t) = n_i / { Δt _i × [ n - n (t)]}
P _стат(t) = 1 - n (t) / N	0,46	0,3	0,23	0,13	0,070	t = t_i _{нач. интервала} + Δt _i / 2
F _стат(t) = 1 - P _стат(t)	0,54	0,7	0,77	0,87	0,930	l λ _ср =∑ λ _{i стат}(t) / l = 0,026 i = 1
F (t) = 1 - ехр(- λ _ср t)	0,33	0,54	0,73	0,82	0,900

Интервал Δt _i принят равным 20 ч. В дальнейшем построенные гистограммы аппроксимируются кривой, по виду которой можно ориентировочно установить закон распределения отказов путем сравнения с соответствующими теоретическими кривыми.

Ширина интервала должна быть не менее чем в два раза больше погрешности измерения параметра. Группировка данных в общем случае приводит к потере информации, но установлено, что для каждого закона распределения существует оптимальное число интервалов гистограммы, при котором вид гистограммы оказывается наиболее близким к действительному виду кривой плотности распределения. На практике можно пользоваться для выбора количества интервалов l таблицей 7.4 или таблицей 7.5, рекомендованных стандартами. Количество интервалов при построении эмпирической кривой распределения может немного меняться для устранения зигзагообразности, провалов и т.п. [10].

Таблица 7.4 - Рекомендованные пределы для выбора количества интервалов [10]

n	25.. 40	40.. 60	60.. 100		100.. 160	100.. 250	250.. 400	400.. 630	630.. 1000
l

Таблица 7.5 - Рекомендованные стандартами пределы для выбора количества интервалов

n	50.. 100
l	10.. 20	18.. 20	25.. 30	35.. 40

Для случая, когда ширина всех интервалов статистического ряда Δt _i одинакова (Δt _i = Δt), её можно вычислить через размах варьирования R = t _MAX – t _MIN параметра t по формуле

Δt = R / l = (t _MAX – t _MIN) / l. (7.1)

Любое значение показателя надёжности, вычисленное на основе ограниченного числа опытов, всегда будет содержать элемент случайности. Приближенное, случайное значение показателя называет оценкой показателя.

К оценке х _стат параметра х предъявляется ряд требований.

Оценка х _стат при увеличении числа опытов n должна приближаться к параметру х. Оценка, обладающая таким свойством, называется состоятельной.

С заданной точностью оценка х _стат не должна обладать систематической ошибкой, т.е. необходимо, чтобы выполнялось условие равенства М (х _стат) значению случайной величины х:

М (х _стат) = х. (7.2)

Оценка, удовлетворяющая условию (7.2), при котором её математическое ожидание равно оцениваемому параметру х, называется несмещенной. При равноточных измерениях оценка х _стат может быть вычислена как среднее арифметическое значение величин х ₁, х ₂, …, х _N.

(7.3)

В частности, статистическую оценку средней наработки до отказа Т _1стат вычисляют по формуле

(3.22)

Выбранная несмещенная оценка должна обладать по сравнению с другими наименьшей дисперсией, т.е.

D [ х _стат] = min. (7.4)

Оценка, обладающая таким свойством, называется эффективной [4]. Статистическая оценка среднеквадратичного отклонения σ _стат от среднего арифметического значения связана с дисперсией D [ х _стат] соотношением

(7.5)

Если среди результатов независимых измерений n_i раз встречаются равные по величине значения х_i, то n_i называют частотой х_i. В этом случае можно сократить объём вычислений х _стат и ], используя формулы:

(7.6)

(7.7)

где К - число групп (интервалов) с одинаковыми значениями х_i. Эти же формулы используют и в случае статистического интервального ряда, но тогда под х_i понимают среднее арифметическое значение х_i _стат параметра х в i -ом интервале, а под n_i - количество измеренных значений, которые по величине попадают в указанный интервал.