Будем считать, что распределение частоты у исправного и неисправного преобразователей подчиняется нормальному закону, а С 11 = С 22 = 0. Тогда из условия (6.30) получим
где Р 2 = 0,05 и P 1 = 1- Р 2 = 0,95 - вероятности пребывания преобразователя частоты соответственно в неисправном и исправном состояниях. Плотности распределения при нормальном законе
;
Подставим полученные значения в предыдущее равенство и, логарифмируя его, получим
-(F - 400)2 / (2×152) + (F - 430)2 / (2×502) = ln(2,632× 15 / 50) = - 0,2362.
Это уравнение можно упростить:
F 2 - 0,794×103× F + 15,74×104 = 0.
Положительный корень этого уравнения F 0 = 411,46. Следовательно, можно рассчитывать на то, что до частоты 411,46 Гц преобразователь будет работать нормально. Очевидно, что отклонение частоты преобразователя от его среднего значения не должно превышать 411,46 – 400 = 11,46 Гц при его нормальной работе. Полученное решение может быть проиллюстрировано графически на рисунке 6.3, если принять х 1 = 400 Гц, х 2 = 430 Гц, а х 0 = 411,46 Гц.
Метод наибольшего правдоподобия, как и метод минимального риска, для записи своего решающего правила использует отношение правдоподобия
x Î D 1, если f (х / D 1) / f (х/D 2) > 1; (6.37)
x Î D 2,если f(х/D1) / f (х/D 2) < 1, (6.38)
где x - диагностируемый параметр.
Граничное значение х = х 0 находят из следующего условия:
f (х/D 1) = f (х/D 2). (6.39)
Сравнивая (6.39), (6.35) и (6.30), видим, что они совпадают, если
λ = P 2×(С 12 - С 22) / [ P 1×(С 21 - С 11)] = 1. (6.40)
Из этого следует, что метод наибольшего правдоподобия является частным случаем метода минимального риска. При С 11 = С 22 = 0 (6.40) приобретает вид
P 2 С 12 / (P 1 С 21) = 1. (6.41)
Отметим в заключение, что всегда надо иметь в виду, что P 1 >> Ρ 2 и С 12 >> С 21. Метод наибольшего правдоподобия проиллюстрируем примером 6.8.
Пример 6.8 [1].
Условия задачи совпадают с примером 6.7. Необходимо решить ее методом наибольшего правдоподобия.