Задача с соударениями

Задачи с соударениями приводят непосредственно к разностным уравнениям или отображениям, которые при определенном выборе параметров часто обнаруживают хаотические колебания. Классическое отображение такого типа описывает движение частицы между двумя стенками. Если одна из стенок неподвижна, а другая колеблется (рисунок 1.74), то задача называется моделью Ферми ускорения космических лучей и описывает поведение заряженных частиц в движущихся магнитных полях. Эта модель очень подробно обсуждается Лихтенбергом и Либерманом [110] в их доступно написанной монографии о стохастическом движении. Исследовано несколько систем разностных уравнений, описывающих эту модель. Одна из таких систем, в которой колеблющаяся стенка передает импульс, не меняя положение частицы, имеет вид

,

где – скорость после соударения, – момент соударения, – импульс на единицу массы, который может передать стенка, а – расстояние между стенками.

Численные исследования этой и аналогичных задач обнаруживают существование решений стохастического типа, в которых тысячи итераций отображения заполняют области фазового пространства ,

Рисунок 1.74 - Модель динамики частицы, отскакивающей от периодически колеблющейся стенки

Модель одного из механических устройств с зазором показанна на следующем рисунке 1.75. Некоторая масса свободно скользит с трением вдоль оси, пока не наталкивается на жесткие пружины, расположенные по обе стороны).

Рисунок 1.75 - Модель эксперимента с колебаниями массы с фазами отключения восстанавливающей силы

Более близкий физический смысл имеет другая математическая модель, в которой шарик подскакивает на колеблющейся поверхности. Сделав некоторое предположение о потерях энергии при каждом соударении, можно получить следующие разностные уравнения:

Здесь – безразмерный момент времени соударения, a – скорость после него.

Как явствует из рисунка, стационарное синусоидальное движение стола может привести к непериодическому движению шарика.

Исследования хаотических движений в консервативных (без затухания) системах имеют более давнюю историю, чем привлекающие ныне всеобщий интерес исследования хаотических режимов в диссипативных системах. Но поскольку практическое приложение консервативных динамических систем ограничено такими областями, как небесная механика, физика плазмы и физика ускорителей, инженеры берут на вооружение успехи, достигнутые в динамике консервативных систем, не с такой готовностью, как успехи, достигнутые в других областях нелинейной динамики (рисунок 1.76).

Рисунок 1.76 - Хаотическая эволюция движения шарика, подскакивающего на периодически колеблющемся столе